Baires kategorisats

Mall:KällorBaires kategorisats är ett fundamentalt begrepp inom funktionalanalys som bland annat ger upphov till de stora teoremen inom funktionalanalys: Banach-Schauders sats, satsen om den slutna grafen och Banach-Steinhaus sats. Satsen är uppkallad efter René-Louis Baire.

Baires kategoriteorem

Varje fullständigt metriskt rum $X$ besitter följande två egenskaper:

• Om $\{O_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ är en följd bestående av öppna och täta delmängder av $X$, så är deras snitt $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cap }}{O}_n$ också en tät delmängd av $X$.
• Mängden $X$ kan inte framställas som en uppräknelig union av ingenstans täta delmängder $\{M_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ : $X\ne \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n.$