Abelsk integral

Mall:Källor En abelsk integral är en (komplex) integral av formen

$\underset{z_0}{\overset{z}{\int }}R(x,w)dx,$

där $R(x,w)$ är en rationell funktion (dvs. en kvot av två polynom) och $w$ är en algebraisk funktion av $x$. Detta betyder att $x$ och $w$ uppfyller en polynomekvation, säg $F(x,w)=0$. Även om ekvationen som relaterar $x$ och $w$ inte kan lösas explicit, definierar den enligt implicita funktionssatsen $w=w(x)$ som funktion av $x$, i vart fall lokalt. Ett mer symmetriskt (och geometriskt) synsätt är att $x$ och $w$ båda är reguljära funktioner på den algebraiska kurva som definieras av ekvationen $F(x,w)=0$. Härvid är det naturligt att anta att polynomet $F$ är irreducibelt.

Exempel

Om $F(x,w)=x^2+w^2-1$ kan ekvationen lösas explicit i termer av kvadratrötter:

$w=\pm \sqrt{1-x^2},$

och man erhåller integraler av formen

$\underset{z_0}{\overset{z}{\int }}R(x,\sqrt{1-x^2})dx,$

exempelvis

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin z.$

Redan i detta enkla fall framgår att abelska integraler i allmänhet är flervärda funktioner: sinusfunktionen är inte injektiv och har därför ingen invers i strikt bemärkelse. Integralens värde beror alltså inte bara på integrationsgränserna utan även på integrationsvägen. Ett likartat men mer avancerat exempel är elliptiska integraler:

$\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{1-k^2{x}^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}dx,$

vilka först undersöktes i samband med försök att beräkna ellipsens båglängd.

Referenser

• Waldschmidt et al., (ed.) From Number Theory to Physics, Springer 1992, Mall:ISBN
• Griffiths, Philip och Harris, Joseph: Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, New York 1978
• Lang, Serge: Introduction to Algebraic and Abelian Functions, Springer 2011 (andra upplagan), Mall:ISBN