1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

1 + 1 + 1 + 1 + ⋯, även skrivet $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^0$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{1}^n$ eller $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$, är en divergent serie, vilket innebär att dess följd inte konvergerar till en reell gräns.

Följden 1ⁿ kan betraktas som en geometrisk serie med förhållandet 1. Till skillnad från andra geometriska serier med rationella förhållanden (utom -1) konvergerar den varken till reella tal eller p-adiska tal för vissa p. Serien uttryckt med den utökade reella tallinjen:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1=+\mathrm{\infty },$

då dess följd av partiella summor ökar monotont utan gräns.

Om summan av n⁰ uppträder i fysiska tillämpningar kan den ibland tolkas av zetafunktionsregularisering. Det är värdet vid s = 0 i Riemanns zeta-funktion

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s},$

De två formlerna ovan gäller dock inte vid noll, vilket nödvändiggör användning av analytisk fortsättning av Riemanns zetafunktion

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s),$

Genom användning av denna ges (givet att $\mathrm{\Gamma }(1)=1$)

$\zeta (0)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\zeta (1-s)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }(\frac{\pi s}{2}-\frac{{\pi }^3{s}^3}{48}+...)(-\frac{1}{s}+...)=-\frac{1}{2}$

där potensserieutvidgningen för ζ(s) om Mall:Nowrap följer eftersom ζ(s) har en simpel residypol där. I denna mening är Mall:Nowrap.

Emilio Elizalde presenterar en anekdot om attityder till serien:

Se även

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
• Harmoniska serien

Källor

• Mall:Enwp

Externa länkar

• Talföljd A000027 i OEIS