Utökade reella tallinjen

Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna $-\mathrm{\infty }$ och $\mathrm{\infty }$. Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori.

Formell definition

Låt $ℝ$ vara reella tallinjen. Utökade reella tallinjen är en mängd

$\overline{ℝ}:=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty }\}\cup \{\mathrm{\infty }\},$

där punkerna $-\mathrm{\infty }$ och $\mathrm{\infty }$ uppfyller följande:

• $-\mathrm{\infty }<a<\mathrm{\infty }$ för alla $a\in ℝ$
• $-(\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$ och $-(-\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$
• $\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$ och $\mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$
• $a\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }\cdot a=\mathrm{\infty }$ för alla $a>0$
• $a(-\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty })a=-\mathrm{\infty }$ för alla $a>0$
• $a\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }\cdot a=-\mathrm{\infty }$ för alla $a<0$
• $a(-\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty })a=\mathrm{\infty }$ för alla $a<0$
• $a+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }+a=\mathrm{\infty }$ för alla $a\in ℝ$
• $\mathrm{\infty }-a=\mathrm{\infty }$ för alla $a\in ℝ$
• $a-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$ för alla $a\in ℝ$
• $\frac{a}{\mathrm{\infty }}=0$ för alla $a\in ℝ\setminus \{0\}$
• $\frac{a}{0}=\mathrm{\infty }$ för alla $a>0$
• $\frac{a}{0}=-\mathrm{\infty }$ för alla $a<0$

Ibland, till exempel inom måtteori, definieras även:

• $0\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }\cdot 0=0$ och $0\cdot (-\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty })\cdot 0=0.$

Uttrycken

• $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $\frac{\mathrm{\infty }}{0}$, $\frac{0}{\mathrm{\infty }}$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ och $\frac{0}{0}$

är inte definierade i $\overline{ℝ}$.

Egenskaper

• Det går att visa att paret $(\overline{ℝ},\le )$ är en ordnad mängd.

Se även

• Måtteori
• Integrationteori