Triangelolikheten

Exempel på triangelolikheten

Triangelolikheten är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än(eller lika med) summan av längderna av de övriga sidorna men större än(eller lika med) differensen mellan dessa sidor (brukar kallas den omvända triangelolikheten).

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Normerat vektorrum

I ett normerat vektorrum V kan triangelolikheten skrivas

$\Vert 𝐱+𝐲\Vert \le \Vert 𝐱\Vert +\Vert 𝐲\Vert$

för alla

$𝐱,𝐲\in V$

Likhet gäller om och endast om x och y är parallella.

Reella tallinjen

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

$|x+y|\le |x|+|y|$

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet

Inom komplex analys gäller olikheten

$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

med likhet om

$\arg (z_1)=\arg (z_2)$.

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

$|z_1+z_2|\ge ||z_1|-|z_2||$

med likhet om

$\arg (z_1)=-\arg (z_2)$.

Metriska rum

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken d i ett metriskt rum ℳ.

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

$d(p,q)\le d(p,r)+d(r,q)$

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p, q) : ℳ → ℝ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

Följdsats

Ur triangelolikheten följer att

$|\Vert 𝐱\Vert -\Vert 𝐲\Vert |\le \Vert 𝐱-𝐲\Vert$

och

$|d(p,r)-d(r,q)|\le d(p,q)$

vilket betyder att normen ||a|| och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integraler

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

$\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|\le \sum _{i=1}^n|x_i|$

för x_i ∈ ℝ och n ∈ ℕ.

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i|\in [0,\mathrm{\infty })$

finns en triangelolikhet:

$\left|\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i\right|\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i|$.

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$,

om f(x) är Riemannintegrerbar.

Se även

• Triangel
• Cauchy–Schwarz olikhet
• Pythagoras sats