Hopfinvariant

Inom matematiken, speciellt inom algebraisk topologi, är Hopfinvarianten, uppkallad efter Heinz Hopf, en homotopi invariant av vissa avbildningar mellan sfärer.

Definition

Låt $ϕ : S^{2 n - 1} \to S^{n}$ vara en kontinuerlig funktion (anta att $n > 1$ ). Då kan vi bilda cellkomplexet

C_{ϕ} = S^{n} \cup_{ϕ} D^{2 n},

där $D^{2 n}$ är en $2 n$ -dimensionell disk associerad till $S^{n}$ via $ϕ$ . De cellulära kedjegrupperna $C_{c e l l}^{*} (C_{ϕ})$ är fritt genererade på $n$ -celler i grad $n$ , så de är lika med $ℤ$ i grad 0, $n$ och $2 n$ och noll annars. Cellulär (ko-)homologi är (ko-)homologin av detta kedjekomplex, och eftersom alla randhomomorfier måste vara noll (kom ihåg att $n > 1$ ), är kohomolgin

H_{c e l l}^{i} (C_{ϕ}) = {\begin{matrix} ℤ & i = 0, n, 2 n, \\ 0 & annars . \end{matrix}

Beteckna generatorerna av kohomologigrupperna med

H^{n} (C_{ϕ}) = ⟨ α ⟩

and

H^{2 n} (C_{ϕ}) = ⟨ β ⟩ .

För dimensionella orsaker måste alla kupprodukter mellan dessa klasser vara triviala utom $α ⌣ α$ . Följaktligen, som en ring, är kohomologin

H^{*} (C_{ϕ}) = ℤ [α, β] / ⟨ β ⌣ β = α ⌣ β = 0, α ⌣ α = h (ϕ) β ⟩ .

Heltalet $h (ϕ)$ är Hopfinvarianten av avbildningen $ϕ$ .

Källor

Hopfinvariant

Definition

Källor

Navigeringsmeny

Sök