Primtalszetafunktionen

Inom matematiken primtalszetafunktionen en analogi av Riemanns zetafunktion som har undersökts av Glaisher 1891. Den definieras som följande oändliga serie som konvergerar för $ℜ (s) > 1$ :

$P (s) = \sum_{p \in p r i m t a l} \frac{1}{p^{s}} .$

Egenskaper

Av Eulerprodukten för Riemanns zetafunktion ζ(s) följer det att

\log ζ (s) = \sum_{n > 0} \frac{P (n s)}{n}

P (s) = \sum_{n > 0} μ (n) \frac{\log ζ (n s)}{n}

Då s närmar sig 1 är $P (s) \sim \log ζ (s) \sim \log (\frac{1}{s - 1})$ . Detta används i definitionen av Dirichletdensitet.

Om vi definierar följden

a_{n} = \prod_{p^{k} ∣ n} \frac{1}{k} = \prod_{p^{k} ∣ ∣ n} \frac{1}{k!}

är

P (s) = \log \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{s}} .

Primtalszetafunktionen är relaterad till Artins konstant enligt

\ln C_{A r t i n} = - \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(L_{n} - 1) P (n)}{n}

där L_n är det n-te Lucastalet.^[1]