Harmoniskt tal

Inom matematiken är det n:te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen:

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}.$

Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zetafunktion och andra speciella funktioner.

Identiteter för harmoniska tal

Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen

$H_n=H_{n-1}+\frac{1}{n}.$

Summan av de n första harmoniska talen ges av

$\sum _{k=1}^n{H}_k=(n+1)H_n-n.$

Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln

$H_n=\frac{1}{n!}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right].$

Beräkning

En integralrepresentation av Euler är

$H_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx.$

Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten

$\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.$

och integrera termvis.

Genom variabelbytet x = 1−u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för H_n :

$\begin{array}{cc}{H}_n& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx\\ & =-\underset{1}{\overset{0}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{k-1}]du\\ & =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{k-1}du\\ & =\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).\end{array}$

Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta $x_1=1,\dots ,x_n=n$ och använda ${\mathrm{\Pi }}_k(1,\dots ,n)=(-1{)}^{n-k}(k-1)!(n-k)!$:

$H_n=H_{n,1}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=(-1{)}^{n-1}n!\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2{\mathrm{\Pi }}_k(1,\dots ,n)}=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}).$

Grafen visar sambandet mellan harmoniska talen och naturliga logaritmen.

Det nte harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n. Orsanken till detta är att

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx$

vars värde är ln(n).

Värdena av följden H_n - ln(n) minskar monotont mot gränsvärdet

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-\ln n)=\gamma ,$

där γ ≈ 0.5772156649 är Eulers konstant. Asymptotiska expansionen då n → ∞ är

$H_n\sim \ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots ,$

där $B_k$ är Bernoullitalen.

Harmoniska tal som en oändlig serie

Det n-te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis:

$\begin{array}{cc}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{n}& =\sum _{r=0}^{n-1}\frac{1}{n-r}=\frac{1}{n}\sum _{r=0}^{n-1}\frac{n}{n-r}=\frac{1}{n}\sum _{r=0}^{n-1}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r^m}{n^m}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{r=0}^{n-1}(1+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{r^m}{n^m})\\ & =1+\frac{1}{n}\sum _{r=1}^{n-1}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{r^m}{n^m}\\ & =1+\left(\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{m+1}}\left(\sum _{r=1}^{n-1}{r}^m\right)\right)\\ & =1+\frac{1+2+\cdots +n-1}{n^2}+\frac{1^2+2^2+\cdots +(n-1{)}^2}{n^3}+\frac{1^3+2^3+\cdots +(n-1{)}^3}{n^4}+\cdots \end{array}$

Förekomst

Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen:

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma .$

Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n. Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-\ln (n+\frac{1}{2}))$

konvergerar snabbare.

2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent med att

$\sigma (n)\le H_n+\ln (H_n)e^{H_n},$

gäller för varje heltal n ≥ 1 med strikt olikhet om n > 1, där σ(n) är sigmafunktionen.

Egenvärdena av det icke-lokala problemet

$\lambda \varphi (x)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}dy$

ges av $\lambda =2H_n$ där $H_0=0.$

Genererande funktioner

Harmoniska talens genererande funktion är

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{H}_n=\frac{-\ln (1-z)}{1-z},$

En exponentiell genererande funktion ges av

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}{H}_n=-e^z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\frac{(-z{)}^k}{k!}=e^z\text{Ein}(z)$

där Ein(z) är exponentiella integralen. Notera att

$\text{Ein}(z)={\text{E}}_1(z)+\gamma +\ln z=\mathrm{\Gamma }(0,z)+\gamma +\ln z$

där Γ(0, z) är ofullständiga gammafunktionen.

Generaliseringar

Hyperharmoniska tal

J. H. Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen: låt

$H_n^{(0)}=\frac{1}{n}.$

Då är det nte hyperhermoniska talet av ordning r (r>0)

$H_n^{(r)}=\sum _{k=1}^n{H}_k^{(r-1)}.$

Speciellt är $H_n=H_n^{(1)}$.

Se även

• Eulers konstant
• Riemanns zetafunktion

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:MathWorld

Se även

• Harmoniska serien