Fresnels integraler

Inom matematiken är Fresnels integraler S(x) och C(x) två speciella funktioner uppkallade efter Augustin-Jean Fresnel som är nära relaterade till felfunktionen (erf). De definieras som integralerna

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt.$

Serieexpansioner

Fresnelintegralerna kan skrivas som följande oändliga serier som konvergerar för alla värden på x:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}$.

Egenskaper

• C(x) och S(x) är udda funktioner av x.
• Med att använda serieexpansionen ovan kan Fresnelintegralerna definieras för alla komplexa tal.
• Fresnelintegralerna kan skrivas med hjälp av felfunktionen på följande vis:

$S(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1+i}{4}[\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)-i\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right)],$

$C(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1-i}{4}[\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)+i\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right)].$

eller $S(z)+iC(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1+i}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)$

• C och S är hela funktioner.
• Integralerna som definierar C(x) och S(x) kan i allmänhet inte skrivas i sluten form med hjälp av elementära funktioner, med gränsvärden av funktionerna då x närmar sig oändlighet är kända:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos t^{2}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t^{2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}.$

Externa länkar

• Mall:Commonscat