Eulers ekvationer

Eulers ekvationer beskriver rörelsen hos ideala fluider, dvs inkompressibla fluider med konstant densitet. Ekvationerna formulerades av Leonhard Euler 1755.

Kraften som verkar på ett fluidelement beskrivs av

$p𝐧\delta 𝐒$

där p(x,y,z,t) är en skalär funktion oberoende av normalen, n, och benämns tryck.

Om vi fixerar en kub med volymen, V, i fluiden och sidan S som har normalen riktad ut från kuben, så kommer flödet in i V via vissa delar av S och ut från andra. Hastighetskomponenten längs normalen är u $\cdot$ n, vilket ger att volymen som lämnar kuben genom en liten del av ytan, $\delta$ S under en tidsenhet blir u $\cdot$ n$\delta$ S. Nettovolymen av utflödet blir då

$\underset{S}{\int }𝐮\cdot 𝐧d𝐒$

Detta är självklart noll för en inkompressibel fluid och med hjälp av divergenssatsen fås

$\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮d𝐕=0$

Detta måste vara sant i hela fluiden. Anta nu att $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$ är större än noll i någon punkt i fluiden. Förutsatt kontinuitetMall:Förtydliga ger det att $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$ är större än noll i en liten sfär runt punkten och om V skulle vara den sfären så strider det mot ovanstående ekvation. Samma sak fås om $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$ är mindre än noll och därmed kan vi dra slutsatsen att

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$

överallt i fluiden.

Följderna av uttrycket för kraften tydliggörs genom att betrakta en färgad blob av fluiden. Nettokraften som utövas på blobben är

$-\underset{S}{\int }p𝐧d𝐒=-\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }pd𝐕$

Minustecknen kommer av att n är riktad ut från S. Förutsatt att $\mathrm{\nabla }p$ är kontinuerlig, kommer trycket att vara konstant över en liten blob med volymen $\delta$V. Nettokraften blir då $\mathrm{\nabla }p\delta$V över blobben.

Nu kan vi lägga till gravitationens inverkan och får

$(-\mathrm{\nabla }p+\rho 𝐠)\delta V$

Denna kraft måste vara samma som produkten av blobbens massa (som är konserverad) och dess acceleration, vilket är

$\rho \delta V\frac{\text{D}𝐮}{\text{D}t}$

Därmed får vi

$\frac{\text{D}𝐮}{\text{D}t}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+𝐠$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$

som är de grundläggande rörelseekvationerna för en ideal fluid (Eulers ekvationer). Utskrivna blir de

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x},$

$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y},$

$\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z}-g,$

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$

Eftersom gravitationen är konservativ kan den skrivas som gradienten till en potential:

$𝐠=-\mathrm{\nabla }\xi$

Nu kan Euler's ekvation skrivas om på formen

$\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮=-\mathrm{\nabla }(\frac{p}{\rho }+\xi )$

där $\rho$ förutsätts konstant.

Vidare kan det vara användbart att utnyttja identiteten

$(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮=(\mathrm{\nabla }\times 𝐮)\times 𝐮+\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }({𝐮}^2)$

för att få rörelseekvationen på formen

$\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\times 𝐮)\times 𝐮=-\mathrm{\nabla }(\frac{p}{\rho }+\frac{1}{2}{𝐮}^2+\xi )$

Vilket leder till Bernoulli'sMall:Förtydliga strömlinjeteorem.

Källor

• D.J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford applied mathematics and computing science series. Mall:ISBN.