Parsevals formel

Parsevals formel är en formel inom Fourieranalys som relaterar en integral av en funktion till dess Fourierkoefficienter. Satsen har sitt ursprung i en sats om serier från 1799 av Marc-Antoine Parseval som senare tillämpades på Fourierserier.

Parsevals formel ger ett villkor för när likhet uppstår i Bessels olikhet. En liknande sats är Plancherels sats.

Formulering

Parsevals formel har en formulering om rummet $L^2[T]$ som är vanligt förekommande inom tillämpningar, men även en formulering om allmänna inre produktrum. Formuleringen i $L^2[T]$ är ett specialfall av den allmänna formuleringen.

Fourierserier

I rummet $L^2[T]$ säger Parsevals formel att för två funktioner f och g i rummet gäller att:

$\frac{1}{T}\underset{T}{\int }f(t)\overline{g(t)}dt=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\overline{b_n}$

och

$\frac{1}{T}\underset{T}{\int }|f(t){|}^{2}dt=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^2$

där $a_n$ och $b_n$ är Fourierkoefficienterna till f respektive g givet av:

$a_n=\frac{1}{T}\underset{T}{\int }f(t)e^{-int}dt$

Inre produktrum

En allmännare form av Parsevals sats behandlar allmänna inre produktrum. Låt V vara ett inre produktrum, då säger Parsevals sats att en följd $(f_k)$ av ortonormala element i V är fullständig (dvs, det linjära höljet av $(f_k)$ är tät i V) om och endast om

$\Vert x\Vert =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|⟨x,v_k⟩|$

för alla x i V. Som en följd av Parsevals sats får man att om $(f_k)$ är ett fullständigt ortonormalt system i V kan varje x i V skrivas som en summa (Fourierserie):

$x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,v_k⟩f_k$

och serien konvergerar i inre produktrummets norm:

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert u-\sum _{k=1}^N⟨x,f_k⟩f_k\Vert =0.$

Man får även följande likhet för att räkna ut skalärprodukten mellan två element genom att använda koefficienterna:

$⟨u,v⟩=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨u,f_k⟩\overline{⟨v,f_k⟩}.$

Referenser

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref
• Mall:Bokref