Produktmått

Produktmått är inom matematiken en typ av mått som är en produkt av andra mått.

Produkt-sigma-algebra

Låt $(X_i,{ℱ}_i)$, $i\in I$, vara en familj av mätbara rum. Indexmängden $I$ kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna $X_i$, dvs

$X:=\prod _{i\in I}{X}_i=\{(x_i{)}_{i\in I}:x_i\in X_i,i\in I\}.$

En mängd $A\subset X$ är en kon om det finns en ändlig mängd $K_A\subset I$ och mängder $A_k\subset X_k$, $k\in K_A$, så att

$A=\{(x_i{)}_{i\in I}\in X:x_k\in A_k,k\in K_A\}.$

Med andra ord är konen en produkt:

$A=\prod _{i\in I}{Y}_i$

där

$Y_i:=\{\begin{array}{cc}{A}_i,& i\in K_A,\\ X_i,& i\notin K_A.\end{array}$

d.v.s. bara ett ändlig antal av $Y_i$ är icke-$X_i$.

En kon $A=\{(x_i{)}_{i\in I}\in X:x_k\in A_k,k\in K_A\}$ är en mätbar kon om

$A_k\in {ℱ}_k$

för alla $k\in K_A$.

Låt $𝒦$ vara en familj av alla mätbara koner.

En produkt-sigma-algebra, $ℱ$, är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt-sigma-algebra är

$ℱ:=\prod _{i\in I}{ℱ}_i=\sigma (𝒦).$

Detta innebär att produkt-sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.

När $I=\{1,2,...,k\}$ är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran

${ℱ}_1\otimes {ℱ}_2\otimes ...\otimes {ℱ}_k.$

Produktmått

Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.

Låt $(X_i,{ℱ}_i,{\mu }_i)$, $i\in I$, vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.

För en kon

$A=\{(x_i{)}_{i\in I}\in X:x_k\in A_k,k\in K_A\}.$

definiera ett "mått"

$\tau (A):=\prod _{k\in K_A}{\mu }_k(A_k).$

Den här funktionen $\tau :𝒦\to [0,\mathrm{\infty }]$ är sigma-additiv och $\tau (\varnothing )=0$. Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner $𝒦$ inte bildar en sigma-algebra.

Å andra sidan det går att visa att $𝒦$ bildar en algebra, dvs

• $X\in 𝒦,$
• $A\in 𝒦\Rightarrow X\setminus A\in 𝒦$ och
• $A,B\in 𝒦\Rightarrow A\cup B\in 𝒦$.

Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra $𝒦$. Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning, $\mu :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$, för funktionen $\tau$ som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat

$\mu :=\prod _{i\in I}{\mu }_i,$

så att en trippel

$(X,ℱ,\mu )=(\prod _{i\in I}{X}_i,\prod _{i\in I}{ℱ}_i,\prod _{i\in I}{\mu }_i)$

är ett måttrum.

När $I=\{1,2,...,k\}$ är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet

${\mu }_1\times {\mu }_2\times ...\times {\mu }_k.$

Exempel

Lebesguemåttet i ${ℝ}^n$, när $n\ge 2$, är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att

${ℒ}_n={ℒ}_1\times ...\times {ℒ}_1$

men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt $n=2$ och $N\subset ℝ$ vara en icke-Lebesguemätbar mängd. Så att mängden

$A:=\{0\}\times N$

är ${ℒ}_2$-mätbar eftersom

${ℒ}_2(A)=0$.

Å andra sidan det är icke ${ℒ}_1\times {ℒ}_1$-mätbar eftersom

$A\notin [\text{Leb}ℝ]\otimes [\text{Leb}ℝ]$ .

Så att

${ℒ}_2\ne {ℒ}_1\times {ℒ}_1.$

Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att

$\text{Bor}{ℝ}^n=[\text{Bor}ℝ]\otimes [\text{Bor}ℝ]\otimes ...\otimes [\text{Bor}ℝ],$

och för alla $[\text{Bor}ℝ]$-mätbara koner $A\subset {ℝ}^n$

${ℒ}_n(A)=({ℒ}_1\times {ℒ}_1\times ...\times {ℒ}_1)(A)$.

Så att

${ℒ}_n|\text{Bor}{ℝ}^n=[{ℒ}_1|\text{Bor}ℝ]\times [{ℒ}_1|\text{Bor}ℝ]\times ...\times [{ℒ}_1|\text{Bor}ℝ],$

eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.

Fubinis sats

En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt $(X,ℱ,\mu )$ och $(Y,𝒢,\nu )$ vara sigma-ändliga måttrum och $\mu \times \nu$ vara produktmåttet.

Fubinis sats säger att om $f:X\times Y\to \overline{ℝ}$ är integrerbar med avseende på produktmåttet $\mu \times \nu$, dvs

$\int |f|d(\mu \times \nu )<\mathrm{\infty },$

så är

$\int fd(\mu \times \nu )=\iint f(x,y)d\mu (x)d\nu (y)=\iint f(x,y)d\nu (y)d\mu (x).$

Se även

• Mått
• Integral
• Måttintegral

Referenser

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.