Unitär matris

En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga

$U{U}^H=U^{H}U=I$

där I är enhetsmatrisen och $U^H$ är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element).

En komplexvärd kvadratisk matris

$U=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{11}& \cdots & u_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ u_{n1}& \cdots & u_{nn}\end{array}\right)$

är således unitär om dess invers ges av

$U^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\overline{u_{11}}& \cdots & \overline{u_{n1}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \overline{u_{1n}}& \cdots & \overline{u_{nn}}\end{array}\right),$

där $\overline{u_{kl}}$ betecknar komplexkonjugatet av det komplexa talet $u_{kl}$, det vill säga om

$u_{kl}=a_{kl}+i{b}_{kl}$

där $a_{kl}$ och $b_{kl}$ är reella tal, är

$\overline{u_{kl}}=a_{kl}-i{b}_{kl}.$

Exempel

Matrisen

$U=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)$

är unitär, eftersom

$U{U}^H=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-i^2& 0\\ 0& -i^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

Egenskaper

För en unitär matris U gäller

• Egenvärdena till U har absolutbeloppet 1

• För två komplexa vektorer x och y, bevaras vektorernas inre produkt (skalärprodukt) vid multiplikation med U, det vill säga

$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$

• U är en normal matris

• U är diagonaliserbar

• $|\det U|=1$

Mall:Linjär-algebra