Kontinuitetsekvationen

Mall:Källor Kontinuitetsekvationen är en ekvation baserad på Reynolds transportteorem (RTT). Kontinuitetsekvationen är ett uttryck för villkoret att massa varken skapas eller försvinner vid ett strömningsförlopp.

Grundform

Den extensiva storheten B gäller då massa varför den intensiva storheten β blir 1 eftersom:

$\beta =\frac{dm}{dm}=1$

RTT blir då:

$\frac{d{𝐦}_{syst}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\underset{kv}{\int }\rho dV\right)+\underset{ky}{\int }\rho ({𝐕}_r\cdot 𝐧)dA$,

där kv står för kontrollvolym, ky för kontrollyta, ρ för densiteten, A för area, V för hastighet. ${𝐕}_r$ är en relativ hastighetsvektor medan $𝐧$ är en enhetsvektor som är negativ för inflöde och positiv för utflöde. Dock är $\frac{d{𝐦}_{syst}}{dt}$ lika med noll för en kontrollvolym.

Kontinuitetsekvationen är:

$\frac{d}{dt}\left(\underset{kv}{\int }\rho dV\right)+\underset{ky}{\int }\rho ({𝐕}_r\cdot 𝐧)dA=0$

Kontinuitetsekvationen förenklas beroende på situation.

Fix kontrollvolym

${𝐕}_r=𝐕$ och $\frac{d}{dt}\int =\int \frac{\delta }{\delta t}$, dvs.

$\underset{kv}{\int }\frac{\delta \rho }{\delta t}dV+\underset{ky}{\int }\rho (𝐕\cdot 𝐧)dA=0$

Endimensionell, stationär strömning i fix kontrollvolym

Vid stationär strömning är $\frac{\delta \rho }{\delta t}\equiv 0$

Vid endimensionell, stationär strömning i en fix kontrollvolym gäller då:

$\sum (\rho VA{)}_{ut}=\sum (\rho VA{)}_{in}$, vilket ger att:

$\sum {\dot{m}}_{ut}=\sum {\dot{m}}_{in}=konstant$

Vid inkompressibelt flöde är densiteten konstant genom hela fluiden. Alltså gäller att $\frac{\delta \rho }{\delta t}\equiv 0$.

Inkompressibelt flöde med fix kontrollvolym

$\underset{ky}{\int }\rho (𝐕\cdot 𝐧)dA=0<=>\underset{ky}{\int }(𝐕\cdot 𝐧)dA$

Endimensionell, inkompressibel strömning genom kontrollvolym

$\sum (VA{)}_{ut}=\sum (VA{)}_{in}$ dvs. $\sum Q_{ut}=\sum Q_{in}$ och $\sum {\dot{m}}_{ut}=\sum {\dot{m}}_{in}$

Källor

• Pumphandboken

Se även

• Energiekvationen
• Impulsmomentsatsen
• Impulssatsen
• Strömningsmekanik