Likformig konvergens

Inom matematiken sägs en följd av funktioner $f_i:ℝ\to ℝ$ konvergera likformigt mot en funktion $f$ på en mängd $I$ om följande villkor uppfylls:

• För varje $ϵ>0$ finns ett $N\in ℝ$ så att för alla $x\in I$ gäller att $n>N$ implicerar $|f_n(x)-f(x)|<ϵ$

Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:

• För varje $x\in I$ och $ϵ>0$ så finns ett $N\in ℝ$ så att $n>N$ medför att$|f_n(x)-f(x)|<ϵ$

Exempel

1. Följden $f_n=\frac{\sin x}{n}$ konvergerar likformigt mot $0$ på $ℝ$.
2. Följden $f_n=\frac{x}{n}$ konvergerar mot $0$ för alla $x$ i $ℝ$, men inte likformigt
3. Följden $f_n=x^n$ konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen $g$ på intervallet $[0,1]$ där $g$ är funktionen som har värdet $1$ i punkten $1$ och värdet $0$ annars.

Egenskaper

Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion $f$ som är gränsvärdet av en följd $f_i$ utifrån egenskaper hos funktionerna $f_i$. Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. I exempel 3 ovan är varje $f_n$ kontinuerlig medan gränsfunktionen, $g$, är diskontinuerlig varför funktionsföljden inte kan konvergera likformigt.

Att en funktionsföljd $(f_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ konvergerar punktvis mot en funktion $f$ är ett krav för likformig konvergens. Den likformiga gränsfunktionen är då nödvändigtvis $f$. Med supremumnormen kan vi säga att en funktionsföljd konvergerar om och endast om:

$\underset{x\in I}{\sup }|f_n(x)-f(x)|\to 0,n\to \mathrm{\infty }$,

vilket är ekvivalent med definitionen ovan, men oftast enklare att räkna med. Processen blir då att först bestämma den punktvisa gränsfunktionen $f$ och sedan kontrollera gränsvärdet:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{t}{\sup }|f_n(t)-f(t)|$

som ska vara $0$ om vi har likformig konvergensen.

Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.

Gränsövergång under integraltecknet

Om vi har en funktionsföljd $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x))dx$

Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet

Bevis

Låt oss teckna $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$. Vidare ger oss kravet på likformighet att:

$|f_n(x)-f(x)|<ϵ$ då $a\le x\le b$ och $n\ge N$

Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f_n(x)-f(x))dx\right|\le \left\{\text{ triangelolikheten }\right\}\le$

$\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_n(x)-f(x)|dx\le ϵ(b-a)$ då $n\ge N$

Vilket bekräftar vår tes

Funktionsserie

Vi kan även betrakta en funktionsserie $\{s_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$där $s_n=\sum _{k=1}^n{u}_k(x)$ och $s=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$ som konvergerar likformigt då $x\in I$ där $I$ är konvergensområdet. Med denna notation fås att:

$\underset{I}{\int }(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x))dx=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{I}{\int }{u}_k(x)dx$

Bevis

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{I}{\int }{u}_k(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\underset{I}{\int }{u}_k(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{I}{\int }\sum _{k=1}^n{u}_k(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{I}{\int }{s}_n(x)dx=\text{ situationen som ovan }=$

$=\underset{I}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n(x)dx=\underset{I}{\int }(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x))dx$

Vilket skulle visas.