Visa källa för Elliott–Halberstams förmodan

Inom [[talteori]] är '''Elliott–Halberstams förmodan''' en [[förmodan]] om [[primtal]]ens fördelning i [[aritmetisk följd|aritmetiska följder]]. Den är uppkallad efter [[Peter D. T. A. Elliott]] och [[Heini Halberstam]].

Låt <math>\pi(x)</math> vara antalet primtal mindre eller lika stora som ''x''.  Om ''q'' är ett positivt [[heltal]] och ''a'' är [[Relativt prima|relativt primt]] till ''q'' definieras <math>\pi(x;q,a)</math> som antalet primtal mindre eller lika stora som ''x'' som är lika med ''a'' modulo ''q''.  [[Dirichlets sats om aritmetiska följder]] säger att 

:<math> \pi(x;q,a) \approx  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}</math>

där ''a'' och ''q'' är relativt prima och <math>\varphi</math> är [[Eulers fi-funktion]]. Om vi definierar feltermen

:<math> E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|</math>

där max är över alla ''a'' relativt prima till ''q'' säger Elliott–Halberstams förmodan att för alla ''&theta;''&nbsp;<&nbsp;1 och ''A''&nbsp;>&nbsp;0 finns det en konstant ''C''&nbsp;>&nbsp;0 så att

:<math> \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \leq \frac{C x}{\log^A x}</math>

gäller för alla ''x''&nbsp;>&nbsp;2.

Förmodandet bevisades för alla ''&theta;''&nbsp;<&nbsp;1/2 av [[Enrico Bombieri]] och [[A. I. Vinogradov]] (se [[Bombieri–Vinogradovs sats]], ibland bara "Bombieris sats"). Det är känt att förmodan inte gäller vid ''&theta;''&nbsp;=&nbsp;1.

== Se även ==
* [[Barban–Davenport–Halberstams sats]]
* [[Barban–Montgomerys sats]]

== Referenser ==
* {{Enwp|url=//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Elliott%E2%80%93Halberstam_conjecture&oldid=583623402|artikel=Elliott–Halberstam conjecture|datum=28 januari 2014}}
=== Källor ===
* {{tidskriftsref |förnamn=E. |efternamn=Bombieri |rubrik=On the large sieve |tidskrift=Mathematika |volym=12 |nummer= |år=1965 |sid=201–225 |doi=}}
* {{tidskriftsref |förnamn=P. D. T. A. |efternamn=Elliott |förnamn2=H. |efternamn2=Halberstam |rubrik=A conjecture in prime number theory |tidskrift=Symp. Math. |volym=4 |år=1968 |nummer= |sid=59–72 }}
* {{tidskriftsref |förnamn=A. I. |efternamn=Vinogradov |rubrik=The density hypothesis for Dirichlet L-series |språk=ryska |tidskrift=Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. |volym=29 |nummer=4 |år=1965 |sid=903–934 |mr=197414 }}
* {{tidskriftsref |förnamn=K. |efternamn=Soundararajan |författarlänk=Kannan Soundararajan |rubrik=Small gaps between prime numbers: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım |tidskrift=Bull. AMS |volym=44 |år=2007 |nummer=1 |sid=1–18 |doi=10.1090/S0273-0979-06-01142-6}}

[[Kategori:Förmodanden inom analytisk talteori]]
[[Kategori:Förmodanden om primtal]]