Wilf–Zeilberger-par

Inom matematiken, specifikt inom kombinatorik, är ett Wilf–Zeilberger-par eller WZ-par ett par av funktioner som satisfierar vissa krav och som kan användas till att verifiera flera kombinatoriska identiteter. WZ-paren är uppkallade efter Herbert S. Wilf och Doron Zeilberger.

Definition

Två funktioner F och G bildar ett WZ-par om följande är satisfierat:

$F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)$

$\underset{M\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }G(n,M)=0.$

I så fall är

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[F(n+1,k)-F(n,k)]=0$

eftersom

$\begin{array}{cc}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[F(n+1,k)-F(n,k)]& =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=-M}^M[F(n+1,k)-F(n,k)]\\ & =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=-M}^M[G(n,k+1)-G(n,k)]\\ & =\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }[G(n,M+1)-G(n,-M)]\\ & =0-0\\ & =0.\end{array}$

Om F och G bildar ett WZ-par satisfierar de relationen

$G(n,k)=R(n,k)F(n,k),$

där $R(n,k)$ är en rationell funktion av n och k.

Exempel

Ett WZ-par kan användas till att verifiera identiteten

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})4^{n-k}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$

genom att använda

$R(n,k)=\frac{2k-1}{2n+1}.$

Definiera följande funktioner:

$\begin{array}{cc}F(n,k)& =\frac{(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})4^{n-k}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\\ G(n,k)& =R(n,k)F(n,k-1).\end{array}$

Då bildar F och G ett WZ-par.

Referenser

• Mall:Bokref
• Mall:Citation.