Urnmodell

Urnmodeller är ett slag av modeller som används inom statistik och för sannolikhetsberäkningar. I samband med likformiga sannolikhetsfördelningar finns många praktiska problem som kan lösas genom att återföra problemen till dragning av föremål från urnor. Antalet objekt (vanligen färgade kulor) som kan finnas i urnorna är i princip obegränsat och även antalet urnor varierar med problemet.

Exempel

Dragning med återläggning

Urnan innehåller v vita och s svarta kulor och dragning sker med återläggning. Efter varje dragning läggs kulan tillbaka vilket upprepas tills n kulor har dragits.

Vilken är sannolikheten att x vita kulor dras?

Vi antar att elementarhändelserna är alla sätt n kulor kan dras med hänsyn till ordning. Vid varje dragning finns det v + s möjligheter. Vid n dragningar finns då

m = (v + s)^{n}

möjligheter.

I hur många fall har x vita kulor dragits?

Efter varje dragning av n kulor finns n möjligheter att placera de x vita kulorna. Antalet sätt att välja x element från en mängd med n element är $(\binom{n}{x})$ (binomialkoefficient).
Varje sådant sätt att välja x element kan uppkomma genom att en av de v vita kulorna placeras på vilken som helst av x platser, vilket ger $v^{x}$ möjligheter. För de återstående n - x platserna finns $s^{n - x}$ möjligheter att placera de svarta kulorna. Sammanlagt finns då $v^{x} s^{n - x}$ möjligheter. Antalet gynnsamma fall är därmed

g = (\binom{n}{x}) v^{x} s^{n - x}

Enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen blir sannolikheten för x vita kulor

\frac{g}{m} = (\binom{n}{x}) {(\frac{s}{v + s})}^{x} {(\frac{v}{v + s})}^{n - x}

Om sannolikheten för att vit respektive svart kula dras skrivs som

p = \frac{v}{v + s}; q = \frac{s}{v + s}

kan sannolikheten för "x vita kulor dras" skrivas

(\binom{n}{x}) p^{x} q^{n - x}

Dragning utan återläggning

I urnan finns v vita och s svarta kulor. Om n kulor dras slumpmässigt utan återläggning, vad är sannolikheten för att x vita kulor dras?

Först bestäms elementarhändelserna som alla möjliga uppsättningar av n dragna kulor oavsett ordning.

Antalet sätt att bland v + s element välja ut n element är

m = (\binom{v + s}{n})

I hur många fall väljs x vita kulor?

Alla gynnsamma fall fås genom att bland de v vita kulorna välja x kulor och bland de återstående n – x svarta kulorna välja dessa från s kulor, vilket ger totala antalet kombinationer som

g = (\binom{v}{x}) (\binom{s}{n - x})

Enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen är därmed sannolikheten att antalet kulor är x

\frac{g}{m} = \frac{(\binom{v}{x}) (\binom{s}{n - x})}{(\binom{v + s}{n})}

Urnmodell

Exempel

Dragning med återläggning

Dragning utan återläggning

Navigeringsmeny

Sök