Ultraprodukt

Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd $A_i,i\in I$ av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur $A={\mathrm{\Pi }}_{ℱ}{A}_i$ sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna $A_i$.

Definition

Låt $A_i,i\in I$ vara strukturer av en fix signatur, och $ℱ$ ett ultrafilter på I. Låt $S={\mathrm{\Pi }}_{i\in I}{A}_i$ vara direkta produkten av strukturerna. Definiera en ekvivalensrelation $\equiv$på $S$ genom $(a_i)\equiv (b_i)$ omm $\{i\in I\mid a_i=b_i\}\in ℱ$. Låt $A$ vara kvoten av $S$ med avseende på $\equiv$. Tolkningen av en relationssymbol R i A ges av

$A\models R(a^1,...,a^n)$ omm $\{i\in I\mid A_i\models R(a_i^1,...,a_i^n\}\in ℱ$

där $a^j=(a_i^j)$. Funktionssymboler och konstanter tolkas analogt. Man visar att detta ger en väldefiniterad struktur, kallad ultraprodukten av strukturerna $A_i$ med avseende på ultrafiltret $ℱ$.

Om alla strukturerna i den mängd man tar ultraprodukten över är lika kallas produkten en ultrapotens

Exempel

• Ultraprodukten av en mängd strukturer $A_i,i\in I$ med avseende på ett principalt ultrafilter med stöd i $j\in I$ är isomorf med $A_j$
• Ultraprodukten av en mängd kroppar $K_i$ där $K_i$ har karakteristik $p_i$, det i:te primtalet, med avseende på ett icke-principalt ultrafilter, är en kropp av karakteristik 0. Detta ger en formell tolkning av Lefschetz princip i algebraisk geometri.
• Ultrapotensen av en oändlig mängd av kopior av de reella talen med avseende på ett icke-principalt ultrafilter är en s.k. icke-standardmodell för de reella talen, i vilken man kan konstruera icke-standardanalys.