Thomaes funktion

Thomaes funktion på intervallet $(0,1)$

Thomaes function, Riemannfunktionen eller i engelsktalande länder popcornfunktionen är en funktion som är kontinuerlig i alla irrationella punkter och diskontinuerlig i alla rationella.

Funktionen definition är

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{q}& \text{om }x=\frac{p}{q}\\ 0& \text{i annat fall}.\end{array}$, där $p$ och $q$ är heltal och bråket $p/q$ är förkortat så mycket som möjligt.

Kontinuitet i irrationella punkter

Låt $x$ vara ett irrationellt tal och $ϵ=1/n$ för $n$ ett heltal. Vi kan definiera

$y^{*}=\underset{j}{\min }\underset{1\le m\le n}{\min }|x-\frac{j}{m}|$.

$y^{*}$ är alltså det kortaste avståndet till ett rationellt tal med nämnare högst $n$. Då är

$|f(x)-f(y)|=|f(y)|\le ϵ$ om $|x-y|\le |x-y^{*}|=\delta$.

Detta visar att $f$ är kontinuerlig i $x$.

Diskontinuitet i rationella punkter

Om $x=p/q$ finns det för varje $\delta >0$ ett (irrationellt) $y$ så att

$|x-y|\le \delta$ men $|f(x)-f(y)|=|f(x)|=\frac{1}{q}$.

Detta visar att $f$ är diskontinuerlig i $x$.

Se även

• Dirichlets funktion

Externa länkar

• Mall:Commonscat