Teleskoperande serie

Teleskoperande serie eller teleskopsumma är en matematisk serie med egenskapen att nästan alla termer tar ut varandra när serien summeras. Låt $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ vara en talföljd. En teleskoperande summa är en summa på formen

$\sum _{n=1}^m{a}_n-a_{n+1}$.

Ett enkelt induktionsbevis visar att

$\sum _{n=1}^m{a}_n-a_{n+1}=a_1-a_{m+1}$.

Om vi dessutom antar att $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$ får vi

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n-a_{n+1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^m{a}_n-a_{n+1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_1-a_{m+1}=a_1-L$

varav summan är konvergent och lika med $a_1-L$.

Ett enkelt exempel är serien

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n-1)}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=2}^N\frac{1}{n(n-1)}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{N(N-1)}$

där man kan skriva om varje term enligt

$\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$.

Genom att sätta in detta i serien får man nu

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }1-\frac{1}{N}=1$.