Svag konvergens

Svag konvergens är ett matematiskt begrepp i funktionalanalys och syftar på en speciell typ av konvergens i Banach- och Hilbertrum.

Definition

En följd av punkter $x_n$ i ett Banachrum X sägs konvergera svagt till x om

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(x)$

för alla begränsade linjära funktionaler f, dvs alla f i dualrummet X'.

Att $x_n$ konvergerar svagt till x skrivs:

$x_n\rightharpoonup x$

Speciellt kan man i ett Hilbertrum H uttrycka svag konvergens som att $x_n$ konvergerar svagt till x om

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_n,y⟩=⟨x,y⟩$

för alla y i H, där $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ är den inre produkten. Detta kommer av att varje linjär begränsad funktional i ett Hilbertrum kan representeras med hjälp av den inre produkten och ett y i H som ovan, enligt Riesz representationssats.

Svag kontra stark konvergens

Svag konvergens kan jämföras med det vanliga konvergensbegreppet, stark konvergens eller konvergens i norm. En följd $x_n$ i ett Banachrum sägs konvergera stark till x om

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x_n-x\Vert =0$

där $\Vert \cdot \Vert$ är normen i Banachrummet. Dessa två konvergensbegrepp definierar två olika topologier på rummet. Topologin inducerad av svag konvergens kallas svag topologi.

Egenskaper

Om en följd $x_n$ konvergerar svagt till x kan man visa att många egenskaper som gäller för starkt konvergenta följder gäller även för $x_n$:

• Gränsvärdet x är unikt.
• Varje delföljd av $x_n$ konvergerar svagt till x.
• Följden $\Vert x_n\Vert$ är begränsad.
• Om $y_n\rightharpoonup y$ gäller att $\alpha x_n+\beta y_n\rightharpoonup \alpha x+\beta y$.

Stark konvergens implicerar svag konvergens:

$x_n\to x\Rightarrow x_n\rightharpoonup x.$

Det omvända gäller i ändligtdimensionella vektorrum, men inte i allmänhet. En svagt konvergent följd behöver alltså inte vara starkt konvergent men om den är det så är det svaga och starka gränsvärdet samma.

Om x_n konvergerar svagt till x gäller

$\Vert x\Vert \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\Vert x_n\Vert .$

Referenser

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref