Struves funktion

Inom matematiken är Struves funktioner ${𝐇}_{\alpha }(x)$ en speciell funktion som definieras som lösningen y(x) av den icke-homogena Bessels differentialekvationen

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=\frac{4{(x/2)}^{\alpha +1}}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}$

Funktionerna introducerades av Hermann Struve 1882. Det komplexa talet α är ordningen av Struves funktion och är ofta ett heltal. De modifierade Struvefunktionerna ${𝐋}_{\alpha }(x)$ definieras som

$-i{e}^{-i\alpha \pi /2}{𝐇}_{\alpha }(ix)$.

Definitioner

Struvefunktionerna ${𝐇}_{\alpha }(x)$ kan definieras som den oändliga serien

${𝐇}_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{\mathrm{\Gamma }(m+\frac{3}{2})\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +\frac{3}{2})}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha +1}$

där $\mathrm{\Gamma }(z)$ är gammafunktionen.

De modifierade Struvefunktionerna ${𝐋}_{\nu }(z)$ kan definieras som serien

${𝐋}_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+k)\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+k+\nu )}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$

En alternativ definition för värden på α som satisfierar $\mathrm{Re}\{\alpha \}>-1/2$ är

${𝐇}_{\alpha }(x)=\frac{2{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sin (x\cos \tau ){\sin }^{2\alpha }(\tau )d\tau .$

Asymptotiska former

För stora x gäller

${𝐇}_{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\to \frac{1}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)$

där $Y_{\alpha }(x)$ är Neumanns funktion.

Egenskaper

Struvefunktionerna satisfierar följande relationer:

${𝐇}_{\alpha -1}(x)+{𝐇}_{\alpha +1}(x)=\frac{2\alpha }{x}{𝐇}_{\alpha }(x)+\frac{{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}$

${𝐇}_{\alpha -1}(x)-{𝐇}_{\alpha +1}(x)=2\frac{\mathrm{d}{𝐇}_{\alpha }}{\mathrm{d}x}-\frac{{(x/2)}^{\alpha }}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{3}{2})}.$

Relation till andra funktioner

Struvefunktioner av heltalsordning kan uttryckas med hjälp av Webers funktion E_n och vice versa: om n är ett icke-negativt heltal är

${𝐄}_n(z)=\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1/2)(z/2{)}^{n-2k-1}}{\mathrm{\Gamma }(n-1/2-k)}{𝐇}_n$

${𝐄}_{-n}(z)=\frac{(-1{)}^{n+1}}{\pi }\sum _{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k-1/2)(z/2{)}^{-n+2k+1}}{\mathrm{\Gamma }(k+3/2)}{𝐇}_{-n}.$

Struvefunktioner av ordning n+1/2 (där n är ett heltal) kan skrivas med hjälp av elementära funktioner. Om n är ett icke-negativt heltal är

${𝐇}_{-n-1/2}(z)=(-1{)}^n{J}_{n+1/2}(z)$

där högra sidan är en sfärisk Besselfunktion.

Struvefunktioner av alla ordningar är specialfall av generaliserade hypergeometriska serier ₁F₂ (som inte är Gauss hypergeometriska funktion ₂F₁) :

${𝐇}_{\alpha }(z)=\frac{(z/2{)}^{\alpha +1/2}}{\sqrt{2\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +3/2)}{}_1{F}_2(1,3/2,\alpha +3/2,-z^2/4).$

Externa länkar

• Mall:Commonscat