Somos konstant

Inom matematiken är Somos konstant, uppkallad efter Michael Somos, en matematisk konstant som definieras som

$\sigma =\sqrt{1\sqrt{2\sqrt{3\cdots }}}=1^{1/2}{2}^{1/4}{3}^{1/8}\cdots .$

Detta kan lätt skrivas i den snabbare konvergerande formen

$\sigma ={\sigma }^2/\sigma ={\left(\frac{2}{1}\right)}^{1/2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{1/4}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{1/8}{\left(\frac{5}{4}\right)}^{1/16}\cdots .$

Konstanten dyker upp då man undersöker tillväxten av sekvensen

$g_0=1;g_n=n{g}_{n-1}^2,n>1,$

vars första termer är 1, 1, 2, 12, 576, 1658880, … Mall:OEIS. Man kan visa att sekvensen växer som

$g_n\sim \frac{{\sigma }^{2^n}}{n+2+O(\frac{1}{n})}.$

Guillera och Sondow ger en representation med hjälp av derivatan av Lerchs transcendent:

$\ln \sigma =\frac{-1}{2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial s}(\frac{1}{2},0,1).$

En snabbare konvergerande serie ges av

$\ln \sigma =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\ln (k+1).$

Konstantens approximativa värde är

$\sigma =1.661687949633594121296\dots$ Mall:OEIS.

Referenser

• Mall:Enwp

Källor

• Steven R. Finch, Mathematical Constants (2003), Cambridge University Press, p. 446. Mall:ISBN.
• Jesus Guillera and Jonathan Sondow, "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent", Ramanujan Journal 16 (2008), 247–270 (Provides an integral and a series representation). Mall:Arxiv