Singulär punkt

Plot (färg representerar argument, ljusstyrka absolutbelopp) av $\exp (1/z)$ med en väsentlig singularitet i origo

Singulär punkt, eller singularitet, är ett begrepp inom komplex analys. En singulär punkt är en punkt där en för övrigt analytisk funktion $f$ ej är definierad.

Man skiljer på tre olika sorters isolerade singulariteter (Låt $f$ vara analytisk i en omgivning av $z_0$, undantaget $z_0$):

• Hävbar singularitet: En punkt $z_0$ sägs vara en hävbar singularitet till f om $|f(z)|$ är begränsad i en punkterad omgivning kring $z_0$. I detta fall kan $f$ definieras i $z_0$ och på så vis ge en funktion analytisk i en omgivning av $z_0$ (medtaget $z_0$).
• Pol: En punkt $z_0$ sägs vara en pol till $f$ om $\underset{z\to z_0}{\lim }|f(z)|=+\mathrm{\infty }$. I detta fall existerar en analytisk funktion $g$ (definierad i en omgivning kring $z_0$) och ett naturligt tal $n$ sådana att

$f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0{)}^n}.$

• Väsentlig singularitet: En punkt $z_0$ sägs vara en väsentlig singularitet till $f$ om $f(z_0)$ ej är definierad och $z_0$ varken är en hävbar singularitet eller en pol.

Se även

• Residy