Sinc-funktionen

Sinc-funktionen är en av två möjliga matematiska funktioner som vanligtvis betecknas sinc(x).

• 
  Den onormaliserade (blå) och normaliserade (röd) sinc-funktionen

Mall:Clear Inom teorin för signalbehandling och relaterade områden definieras oftast sinc-funktionen som

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}.$

vilket är den normaliserade sinc-funktionen. Inom matematiken används den onormaliserade sinc-funktionen

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (x)}{x}.$

För båda definitionerna, är värdet vid x = 0 definierat som gränsvärdet

$\mathrm{sinc}(0):=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (ax)}{ax}=1$

för alla reella a ≠ 0.

Egenskaper

Rektangelfunktionen rect(f)

Den normaliserade sinc-funktionen har nollställen vid alla heltal utom noll (den onormaliserade har nollställen för alla $x=\pm n\pi :n>0$). Den kan också representeras som en produkt enligt

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{n=1}^m(1-\frac{x^2}{n^2})$

Fouriertransformen av den normaliserade sinc-funktionen är rektangelfunktionen rect(f),

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$

där rect(f) = 1 då f ligger i intervallet {−1/2, 1/2} och noll för övriga värden.