Selmergrupp

Inom aritmetisk geometri är en Selmergrupp, uppkallad efter Mall:Harvs, en grupp som konstrueras från en isogeni av abelska varieteter. Selmergruppen av en abelsk varietet A i förhållande till isogenin f : A → B av abelska varieteter kan definieras med hjälp av Galoiskohomologin som

{S e l}^{(f)} (A / K) = ⋂_{v} k e r (H^{1} (G_{K}, k e r (f)) \to H^{1} (G_{K_{v}}, A_{v} [f]) / i m (κ_{v}))

där A_v[f] betecknar f-torsionen av A_v och $κ_{v}$ är den lokala Kummertransformationen $B_{v} (K_{v}) / f (A_{v} (K_{v})) \to H^{1} (G_{K_{v}}, A_{v} [f])$ . Notera att $H^{1} (G_{K_{v}}, A_{v} [f]) / i m (κ_{v})$ är isomorfisk till $H^{1} (G_{K_{v}}, A_{v}) [f]$ . Geometriskt har alla principiella homogena rum som uppstår från element av Selmergruppen K_v-rationella punkter för alla ställen v av K. Selmergruppen är ändlig. Av detta följer att delen av Tate–Sjafarevitjgruppen som annihileras av f är ändlig p.g.a. följande exakta följd

0 → B(K)/f(A(K)) → Sel^(f)(A/K) → Ш(A/K)[f] → 0.

Selmergruppen i mitten av följden är ändlig och effektivt beräknelig. Av detta följer den svaga Mordell-Weilsatsen att dess delgupp B(K)/f(A(K)) är ändlig.

Ralph Greenberg har generaliserat Selmergrupper till mer allmänna p-adiska Galoisrepresentationer och p-adiska variationer av motiver i samband med Iwasawateori.

Källor

Mall:L-funktioner

Selmergrupp

Källor

Navigeringsmeny

Sök