Sekundära polynom

Mall:Källor Inom matematiken är det sekundära polynomet $\{q_n(x)\}$ associerat en följd $\{p_n(x)\}$ av ortogonala polynom i förhållande till en densitet $\rho (x)$ som definieras av

$q_n(x)=\underset{ℝ}{\int }\frac{p_n(t)-p_n(x)}{t-x}\rho (t)dt.$

För att se att funktioner som $q_n(x)$ verkligen är polynom, betrakta då ett enkelt exempel på

$\begin{array}{cc}{q}_0(x)& =\underset{ℝ}{\int }\frac{t^3-x^3}{t-x}\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }\frac{(t-x)(t^2+tx+x^2)}{t-x}\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }(t^2+tx+x^2)\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }{t}^2\rho (t)dt+x\underset{ℝ}{\int }t\rho (t)dt+x^2\underset{ℝ}{\int }\rho (t)dt\end{array}$

vilket är ett polynom $x$ förutsatt att de tre integralerna i $t$ (momenten av densiteten $\rho$) är konvergenta.

Referenser

• Mall:Enwp