Rot av tal

Mall:Matematiska operationer En n:te rot till ett tal a är ett tal x sådant att xⁿ = a. Rottecknet är en operator på talet a.

• Fallet n = 2 kallas kvadratrot, det som ofta avses med "roten ur" ett tal
• Fallet n = 3 kallas kubikrot

Den n:te roten till ett tal betecknas:

$\sqrt[n]{a}$

Talet $n$ benämns grad eller rotindex och $a$ benämns radikand.

Beräkning

Rötter kan beräknas med hjälp av logaritmer då

$\sqrt[n]{x}=e^{\frac{\ln x}{n}}$

Algoritm

För att beräkna $\sqrt[n]{A}$ kan följande algoritm användas:

1. Gör en första gissning $x_0$ (ju närmare $\sqrt[n]{A}$ desto snabbare konvergerar algoritmen).
2. $x_{k+1}=\frac{1}{n}\left[(n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}}\right]$
3. Upprepa steg 2 tills önskad precision är uppnådd

Härledning

Algoritmen kan härledas från Newton-Raphsons metod.

$\sqrt[n]{A}=x\iff x^n-A=0$

Vi söker alltså nollstället till

$f(x)=x^n-A$

Iterationsformeln blir

$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}=x_k-\frac{x_k^n-A}{n\cdot x_k^{n-1}}=\frac{n\cdot x_k^n-(x_k^n-A)}{n\cdot x_k^{n-1}}=\frac{1}{n}\left[(n-1)x_k+\frac{A}{x_k^{n-1}}\right]$

Ett specialfall är då n = 2 vilket är mer känt som den babyloniska metoden.

Se även

• Kvadratrot
• Kubikrot
• Rottecken
• Irrationella tal
• Algebraiska tal
• Geometriskt medelvärde
• Tolfte roten ur 2

Källor

• Matematisk uppslagsbok, William Karush, W&W, 1962