Reynolds-averaged Navier-Stokes

Reynolds-averaged Navier-Stokes är en kvasitidsmedelvärdesbildning av Navier-Stokes ekvationer där man söker att skilja ut de turbulenta komponenterna av flödet för att kunna representera dem med någon form av turbulensmodell istället för att behöva lösa upp de turbulenta komponenterna i den numeriska lösningen av Navier-Stokes ekvationer.

$\bar{\mathrm{\Phi }}\equiv \frac{1}{T}\underset{T}{\int }\mathrm{\Phi }(t)dt$

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }\equiv \mathrm{\Phi }-\bar{\mathrm{\Phi }}$

$\mathrm{\Phi }(𝐱,t)=\overline{\mathrm{\Phi }}(𝐱,𝐭)+{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(𝐱,t)$

Räkneregler:

$\overline{\stackrel{‾}{f}}=\overline{f}$

$\overline{f+g}=\overline{f}+\overline{g}$

$\overline{\stackrel{‾}{f}g}=\overline{f}\overline{g}$

$\overline{fg}\ne \overline{f}\overline{g}$

$\overline{\frac{\partial f}{\partial s}}=\frac{\partial \overline{f}}{\partial s}$

Inkompressibel strömning

Genom följande substitution i Navier-Stokes ekvationer för inkompressibel strömning:

$u_i=\overline{u_i}+u_i^{\prime },p=\overline{p}+p^{\prime }$

Där $f_i$ är en vektor som representerar externa krafter

så fås följande system

$\frac{\partial (\overline{u_i}+u_i^{\prime })}{\partial x_i}=0$

$\frac{\partial (\overline{u_i}+u_i^{\prime })}{\partial t}+(\overline{u_j}+u_j^{\prime })\frac{\partial (\overline{u_i}+u_i^{\prime })}{\partial x_j}=(\overline{f_i}+f_i^{\prime })-\frac{1}{\rho }\frac{\partial (\overline{p}+p^{\prime })}{\partial x_i}+\nu \frac{{\partial }^2(\overline{u_i}+u_i^{\prime })}{\partial x_j\partial x_j}$

Genom att applicera kvasitidsmedelvärdesbildningen på systemet så fås följande:

$\stackrel{‾}{\frac{\partial (\overline{u_i}+u_i^{\prime })}{\partial x_i}}=0$

$\stackrel{‾}{\frac{\partial (\overline{u_i}+u_i^{\prime })}{\partial t}}+\stackrel{‾}{(\overline{u_j}+u_j^{\prime })\frac{\partial (\overline{u_i}+u_i^{\prime })}{\partial x_j}}=\overline{(\overline{f_i}+f_i^{\prime })}-\frac{1}{\rho }\overline{\frac{\partial (\overline{p}+p^{\prime })}{\partial x_i}}+\nu \stackrel{‾}{\frac{{\partial }^2(\overline{u_i}+u_i^{\prime })}{\partial x_j\partial x_j}}$

som förenklas till:

$\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_i}=0$

$\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t}+\frac{\partial \overline{u_j}\overline{u_i}}{\partial x_j}=\overline{f_i}-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i}+\nu \frac{{\partial }^2\overline{u_i}}{\partial x_j\partial x_j}-\frac{\partial \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}}{\partial x_j}$

där den följande termen, Reynolds spänningstensor, måste modelleras med någon form av turbulensmodell:

$-\frac{\partial \overline{u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }}}{\partial x_j}$

Se även

• CFD
• Einsteins summakonvention

Källor

• Mall:Bokref