Residysatsen

Residysatsen eller Cauchys residysats uttrycker ett samband mellan vissa linjeintegraler av en funktion och dess Laurentserieutvecklingar i funktionens singulära punkter.

Formulering

Antag att $f$ är analytisk innanför och på en enkel sluten kurva $\gamma$ förutom i ändligt många punkter $z_1,\dots ,z_n$, då gäller:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f;z_k)$, där integrationsvägen är tagen moturs.

där $\mathrm{Res}(f;z_k)$ är residyn för f i $z_k$.

Ovanstående är ett ofta använt specialfall av en allmännare sats: Låt f vara analytisk i ett område U förutom i ändligt många punkter $z_1,\dots ,z_n$ och $\gamma$ vara en sluten kurva (inte nödvändigtvis enkel) som omsluter, men inte går igenom någon av punkterna $z_1,\dots ,z_n$. Då gäller:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f;z_k){\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z_k)$

där ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z_k)$ är omloppstalet för kurvan $\gamma$ kring punkten $z_k$.