Relativistiskt system

Inom matematiken definieras icke-autonomt system av ordinära differentialekvationer som en dynamisk ekvation på ett slätt fiberknippe $Q\to ℝ$ över $ℝ$. Exempelvis är det ett fall av icke-autonom mekanik, men inte relativistisk mekanik. För att beskriva relativistisk mekanik bör ett system av ordinära differentialekvationer på en slät mångfald $Q$ vars fibration över $ℝ$ inte är fixt övervägas. Ett sådant system antar transformationer av en koordinat $t$ på $ℝ$ beroende på andra koordinater på $Q$. Därför kallas det för relativistiskt system. I synnerhet är speciell relativitet på Minkowskirummet $Q={ℝ}^4$ av denna typ.

Eftersom ett konfigurationsrum $Q$ av ett relativistiskt system inte har någon fördelaktig fibration över $ℝ$, är ett hastighetsrum av relativistiskt system en första ordningens strålmångfald $J_1^{1}Q$ av endimensionella undermångfalder av $Q$. Begreppet strålundermångfald är en generalisering av sektionsstrålar av fiberknippen som används av kovariant klassisk kroppteori och icke-autonom mekanik. En första ordningens strålknippe $J_1^{1}Q\to Q$ är projektiv och – i enlighet med speciella relativitetsteorins terminologi – kan fibrer tänkas som ett absolut hastighetsrum i ett relativistiskt system. Givet koordinaterna på $(q^0,q^i)$ på $Q$, är en första ordningens strålångfald $J_1^{1}Q$ tillhandahållen med de justerade koordinaterna $(q^0,q^i,q_0^i)$ som har övergångsfunktioner

$q{\text{'}}^0=q{\text{'}}^0(q^0,q^k),q{\text{'}}^i=q{\text{'}}^i(q^0,q^k),{q^{\prime }}_0^i=(\frac{\partial q{\text{'}}^i}{\partial q^j}{q}_0^j+\frac{\partial q{\text{'}}^i}{\partial q^0}){(\frac{\partial q{\text{'}}^0}{\partial q^j}{q}_0^j+\frac{\partial q{\text{'}}^0}{\partial q^0})}^{-1}.$

De relativistiska hastigheterna i ett relativistiskt system representeras av element av ett fiberknippe $ℝ\times TQ$, koordinerad av $(\tau ,q^{\lambda },a_{\tau }^{\lambda })$, där $TQ$ är tangentknippet av $Q$. Då tolkas en generisk rörelseekvation av ett relativistiskt system i termer av relativistiska hastigheter av:

$(\frac{{\partial }_{\lambda }{G}_{\mu {\alpha }_2\dots {\alpha }_{2N}}}{2N}-{\partial }_{\mu }{G}_{\lambda {\alpha }_2\dots {\alpha }_{2N}})q_{\tau }^{\mu }{q}_{\tau }^{{\alpha }_2}\cdots q_{\tau }^{{\alpha }_{2N}}-(2N-1)G_{\lambda \mu {\alpha }_3\dots {\alpha }_{2N}}{q}_{\tau \tau }^{\mu }{q}_{\tau }^{{\alpha }_3}\cdots q_{\tau }^{{\alpha }_{2N}}+F_{\lambda \mu }{q}_{\tau }^{\mu }=0,$

$G_{{\alpha }_1\dots {\alpha }_{2N}}{q}_{\tau }^{{\alpha }_1}\cdots q_{\tau }^{{\alpha }_{2N}}=1.$

Exempelvis, om $Q$ är Minkowskirummet med en Minkowskimetrik $G_{\mu \nu }$, är detta en ekvation av en relativistisk laddning i närvaro av ett elektromagnetiskt fält.

Källor

• Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [et al.], "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, Mall:ISBN.
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010) Mall:ISBN, (se också arXiv: 1005.1212).

Se även

• Speciella relativitetsteorin