Poissonfördelning

Siméon Denis Poisson

P som funktion av heltalen x för λ=m=1, 4 och 10.

Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Funktionen är uppkallad efter Siméon Denis Poisson.

Fördelningens sannolikhetsfunktion är

$P(X=n)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^n}{n!}$

Detta kan betecknas $X\sim Po(\lambda )$.

Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är $\lambda$.

Härledning

Poissonfördelningen kan härledas med hjälp av binomialfördelningen.

Sannolikheten att få $n$ gynnsamma utfall där varje utfall har sannolikheten $p$ vid $N$ försök ges av binomialfördelningen:

$P_p(n|N)=\frac{N(N-1)\cdots (N-n+1)}{n!}{p}^n(1-p{)}^{N-n}(1)$

Definiera

$\lambda :=Np\Rightarrow p=\frac{\lambda }{N}$

(1) blir då

$P_{\lambda }(n|N)=\frac{N(N-1)\cdots (N-n+1)}{n!}(\frac{\lambda }{N}{)}^n(1-\frac{\lambda }{N}{)}^{N-n}$

Vilket förenklas till

$P_{\lambda }(n|N)=\frac{N(N-1)\cdots (N-n+1)}{N^n}\frac{{\lambda }^n}{n!}(1-\frac{\lambda }{N}{)}^N(1-\frac{\lambda }{N}{)}^{-n}(2)$

Låt $N\to \mathrm{\infty }$ i (2):

$P_{\lambda }(n|N)\to 1\cdot \frac{{\lambda }^n}{n!}\cdot e^{-\lambda }\cdot 1=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^n}{n!}$

Approximering

Under villkoret att $n$ är stort kan binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen. Följande två tumregler används ofta:

• Om $p<0,1$ kan binomialfördelningen $Y\sim Bin(n,p)$ approximeras med poissonfördelningen $Po(\lambda =np)$
• Om $p>0,9$ kan $Y$ approximeras med $n-Z$ där $Z\sim Po(\lambda =n(1-p))$. $n$ är här antalet försök och $p$ sannolikheten att den givna händelsen skall inträffa.

Se även

• Sannolikhetsteori
• Matematiskt bevis

Externa länkar

• Mall:Commonscat
• Poisson Distribution, Wolfram MathWorld.