Pascalmatris

Pascalmatris är inom matematiken en oändlig matris innehållande binomialkoefficienter, liknande Pascals triangel. Pascalmatriser kan uttryckas på tre olika sätt; som höger- eller vänstertriangulära matriser eller som en symmetrisk matris. Om man begränsar Pascalmatrisen till en matris av format 5×5 får man då dessa representationer:

Högertriangulär: $U_5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 1& 3& 6\\ 0& 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$  Vänstertriangulär: $L_5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 0\\ 1& 3& 3& 1& 0\\ 1& 4& 6& 4& 1\end{array}\right)$  Symmetrisk: $S_5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 3& 6& 10& 15\\ 1& 4& 10& 20& 35\\ 1& 5& 15& 35& 70\end{array}\right).$

Matrisen $S_n$ är helt enkelt en matris där kolonnerna är kolonnerna i Pascals triangel, men första elementet i en kolonn är det första nollskilda elementet i triangeln för motsvarande kolonn.

Man kan visa att $S_n=L_n{U}_n$, se att spåret av de två första matriserna är: $\mathrm{tr}{U}_n=\mathrm{tr}{L}_n=n$, samt att $\det S_n=\det L_n\det U_n=1$.

Man kan också se att $U_n^T=L_n$, där $T$ står för transponat.

Konstruktion

Pascalmatriser kan fås genom att ta matrisexponentialen av en speciell matris med särskilda element antingen i diagonalen över eller under huvuddiagonalen och nollor på alla andra platser, där elementet på rad $k$ är $k$. Exempel:

$L_6=\exp \left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 4& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 5& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 0& 0\\ 1& 3& 3& 1& 0& 0\\ 1& 4& 6& 4& 1& 0\\ 1& 5& 10& 10& 5& 1\end{array}\right)$

och $U_6$ konstrueras likartat, men matrisen som man utgår ifrån har elementen i superdiagonalen. Man kan sedan konstruera $S_6=L_6{U}_6$. Konstruktionen gäller för alla $n$, observera dock att $e^A{e}^B=e^{AB}$ i allmänhet inte gäller då $A,B$ är matriser, så man måste räkna ut två matrisexponentialer om man vill veta $S_n$, eller utnyttja att $U_n=L_n^T$.