Nolldelare

Om R är en kommutativ ring, så är ett element a ≠ 0 i R en nolldelare, om det finns ett element b ≠ 0 i R, sådant att a·b = 0.

Om en kommutativ ring saknar nolldelare, så kallas den för ett integritetsområde. I en ring, som inte är kommutativ skiljer man på vänsternolldelare och högernolldelare.

Exempel

Heltalen Z, de reella talen R och de komplexa talen C saknar nolldelare.

Matrisen $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ i matrisringen av 2×2-matriser med reella element är en nolldelare, eftersom

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Produkten av de två kvadratiska matriserna är således lika med nollmatrisen, trots att ingen av dessa är nollmatrisen. I denna ring är nolldelarna de matriser, vilkas determinant är lika med noll.

Egenskaper

En nolldelare är inte inverterbar, för om $ax=0$ följer det att:

$0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x$

Alla idempotenta element $a\ne 1$ är nolldelare, för om $a^2=a$ följer det att $a(a-1)=(a-1)a=0$.

Alla nilpotenta element är nolldelare, ty om $a^n=0$ följer det att $a{a}^{n-1}=a^{n-1}a=0$.

Ringen av kongruensklasser modulo n, ${\mathbb{Z}}_n$, har nolldelare om och endast om n är ett sammansatt tal.

Se även

• Kancelleringslagen
• Division med noll

Referenser

Källor

• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.
• B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin 1950.
• Oscar Zariski, Pierre Samuel, Commutative Algebra, Volume 1, D. van Nostrand Company, Princeton New Jersey 1958.