Negativ binomialfördelning

Sannoliketsfunktionen för den negativa binomialfördelningen för r=10, p=0,2 (blå), p=0,5 (grön) och p=0,8 (rött).

Den negativa binomialfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning av antalet framgångar eller antalet försök i en sekvens av oberoende och identiskt fördelade Bernoulliförsök innan ett specificerat (icke-slumpmässigt) antal misslyckanden (betecknat r ) inträffar.

Exempel

Vi kan till exempel definiera att när vi kastar en tärning och får en sexa är det en framgång, annars ett misslyckande. Sedan väljer vi r lika med 3. Vi kastar sedan tärningen upprepade gånger tills siffran 6 visas för tredje gången. I ett sådant fall är sannolikhetsfördelningen av antalet misslyckanden (annat än sexa) som uppträdde en negativ binomialfördelning.

Sannolikhetsfunktion

Den negativa binomialfördelningen har följande sannolikhetsfunktion:

$f(k;r,p)\equiv \mathrm{Pr}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})p^r(1-p{)}^k$

där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och p, sannolikheten för ett lyckat försök. Binomialkoefficienten kan skrivas om som:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})=\frac{(k+r-1)!}{(r-1)!k!}=\frac{(k+r-1)(k+r-2)\cdots (r)}{k!}.$

Ett annat sätt är att utnyttja den så kallade negativa binomialkoefficienten:

$\begin{array}{cc}& \frac{(k+r-1)\cdots (r)}{k!}\\ =& (-1{)}^k\frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\cdots (-r-k+1)}{k!}=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-r}{k}).\end{array}$

Naturligtvis kan vi räkna antalet försök oberoende om de är lyckade eller inte:

$f(k;r,p)\equiv \mathrm{Pr}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{k})p^r(1-p{)}^{(k-r)}$

Alternativ parametrisering

Den negativa binomialfördelningen kan skrivas med följande sannolikhetsfunktion i stället:

$f(k;r,\mu )\equiv \mathrm{Pr}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})(\frac{r}{\mu +r}{)}^r(1-\frac{\mu }{\mu +r}{)}^k$

där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och μ, väntevärdet. Då blir $p=\frac{r}{\mu +r}$

Väntevärde och varians

Väntevärdet för antal misslyckanden är $r/p-r=\mu$. Om vi räknar alla försök blir väntevärdet $r/p=\mu +r$.

Variansen är: $r(1-p)/p^2=\mu +{\mu }^2/r$.

Generalisering

Parametern r kan också vara vilket positivt reellt tal som helst. Då får fakulteterna ersättas med gammafunktionen. Ibland pratar man om Pascalfördelningen (efter Blaise Pascal) då r är ett heltal och om Polyafördelningen (för George Pólya) för reella r.

Se även

• Geometriska fördelningen, om r är 1

Externa länkar

• Mall:Commonscat