Nablaoperatorn

Mall:KällorNablaoperatorn är en differentialoperator, betecknad med symbolen ∇, som används inom vektoranalysen. Symbolen är ett kortare och bekvämare tecken för den vektorlika operatorn (i tre dimensioner med kartesiska koordinater):

$(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

Symbolen introducerades av William Rowan Hamilton. Namnet nabla kommer från ett hebreiskt stränginstrument med liknande form.

Operatorn kan appliceras på skalärfält (φ) eller vektorfält (F = (F_x, F_y, F_z)), för att ge

• Gradienten ∇φ, även kallat grad φ

$\mathrm{\nabla }\varphi =(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y},\frac{\partial \varphi }{\partial z})$

• Divergensen ∇⋅F, även kallat div F

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

• Rotationen ∇×F, även kallat rot F

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\left|\begin{array}{ccc}{e}_x& e_y& e_z\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})$

Om man kombinerar gradient och divergens får man Laplaceoperatorn, vilken betecknas med nablaoperatorn i kvadrat, ∇² alternativt Δ:

$\mathrm{\Delta }\varphi ={\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\varphi =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}$

Samt för vektorfält:

$\mathrm{\Delta }𝐅={\mathrm{\nabla }}^2𝐅=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)$

Räkneregler

Genom att tolka nablaoperatorn som en vektor och använda räkneregler för vektorprodukter går det att visa att

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\varphi )=\mathrm{𝟎}$

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }=\mathrm{𝟎}$

Produktregler

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }(fg)& =f\mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\nabla }f\\ \mathrm{\nabla }(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})& =\overrightarrow{u}\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})+\overrightarrow{v}\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}+(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{u}\\ \mathrm{\nabla }\cdot (f\overrightarrow{v})& =f(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v})+\overrightarrow{v}\cdot (\mathrm{\nabla }f)\\ \mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})& =\overrightarrow{v}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{u})-\overrightarrow{u}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})\\ \mathrm{\nabla }\times (f\overrightarrow{v})& =(\mathrm{\nabla }f)\times \overrightarrow{v}+f(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})\\ \mathrm{\nabla }\times (\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})& =\overrightarrow{u}(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v})-\overrightarrow{v}(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{u})+(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{u}-(\overrightarrow{u}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}\end{array}$

Se även

• d'Alemberts operator
• Laplaceoperatorn
• Lista över matematiska symboler
• Maxwells elektromagnetiska ekvationer