Momentmetoden

Momentmetoden är en metod för att skatta parametrarna till en statistisk fördelning.

Definition

Om en statistisk fördelning har $k$ parametrar, sätter man de $k$ första stickprovsmomenten lika med uttrycken för de $k$ första momenten uttryckta i de $k$ parametrarna.

Momentmetoden är den äldsta metoden för att skatta parametrar och Karl Pearson ligger bakom den (runt 1894).

Exempel

Vi har en stokastisk variabel $X$ som är normalfördelad med väntevärdet $\mu$ och variansen ${\sigma }^2$. Då är fördelningens två första moment

$\mathrm{E}[X]=\mu$ och

$\mathrm{E}[X^2]={\mu }^2+{\sigma }^2$.

Om vi nu tar $n$ sampel och beräknar stickprovsmomenten:

$m_1=\sum _{i=1}^n{x}_i$ och

$m_2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2$.

Om man identifierar stickprovsmomenten med fördelningens moment får man

$\sum _{i=1}^n{x}_i=\mu$ och

$\sum _{i=1}^n{x}_i^2={\mu }^2+{\sigma }^2$.

Då fås skattningarna av parametrarna som:

$\hat{\mu }=\sum _{i=1}^n{x}_i$ och

$\widehat{{\sigma }^2}=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-{\hat{\mu }}^2$.

Väntevärdesskattningen $\hat{\mu }$ är väntevärdesriktig, medan variansskatningen $\widehat{{\sigma }^2}$ inte är det. Denna är dock konsistent, det vill säga, dess fel går mot noll när antalet sampel ökar.

Se även

• Maximum likelihood-metoden, som också används för att skatta parametrar

Referenser

Tryckta källor

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref