Modus tollens

Mall:Slutledningsregler Modus tollens (latin: metod för förnekande) är en förkortad form av modus tollendo tollens, som är en slutledningsregel inom logiken. Regeln kan formellt skrivas:

$\frac{P\to Q,\mathrm{\neg }Q}{\therefore \mathrm{\neg }P}$

vilket betyder att av två premisser, där den ena är en materiell implikation och den andra är negationen av implikationens andra led, följer negationen av implikationens första led.

Från premissena P→Q och $\mathrm{\neg }$Q kan således slutsatsen $\mathrm{\neg }$P dras.

Regeln är relaterad till egenskapen kontraposition av den materiella implikationen, det vill säga att A → B är ekvivalent med ¬B → ¬A, vilken senare sats tillsammans med $\mathrm{\neg }$B och slutledningsregeln modus ponens ger $\mathrm{\neg }$A.

Exempel: Från "Om min klocka går rätt, så är tåget försenat" och "Tåget är inte försenat" kan man dra slutsatsen "Min klocka går inte rätt".

Formellt kan regeln även skrivas:

$P\to Q,\mathrm{\neg }Q⊢\mathrm{\neg }P$, där $⊢$ betyder satslogisk konsekvens.

Regeln uttryckt som en tautologi eller som ett teorem i satslogiken skrivs:

$((P\to Q)\wedge \mathrm{\neg }Q)\to \mathrm{\neg }P$

Inom predikatlogik finns följande formulering:

$\begin{array}{ccc}& \mathrm{\forall }x:& P(x)\to Q(x)\\ & \mathrm{\exists }x:& \mathrm{\neg }Q(x)\\ \therefore & \mathrm{\exists }x:& \mathrm{\neg }P(x)\end{array}$

Vilket kan utläsas: Allt som uppfyller P uppfyller Q. Det finns ett x som inte uppfyller Q. Alltså finns ett x som inte uppfyller P.

I mängdlära kan det uttryckas som:

$\begin{array}{cc}& P\subseteq Q\\ & x\notin Q\\ \therefore & x\notin P\end{array}$

det vill säga, P är en delmängd till Q. x är inte ett element i Q. Alltså är x inte ett element i P.

Källor

• Elliott Mendelson, Elementary Logic, Oxford University Press, London 1965.
• Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950.
• Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
• Göran Hermerén, Logik, Studentlitteratur, Lund 1967.