Matrislogaritm

Inom matematiken är matrislogaritm en generalisering av begreppet logaritm till att gälla även kvadratiska matriser. Matrislogaritmen är den inversa matrisfunktionen till matrisexponentialen.

Definition och egenskaper

En matris B är logaritmen till en matris A om A är matrisexponentialen av B:

${\mathrm{e}}^B=A$

Matrislogaritmen har följande egenskaper:

• En matris har en logaritm om och endast om den är inverterbar.
• En reell matris kan ha en komplex matris som logaritm.
• Matrislogaritmen är inte unik.

Beräkning

För diagonaliserbara matriser

Om D är en diagonalmatris är logaritmen av D en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av D:s diagonalelement, dvs:

$\ln \left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\ln {\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& \ln {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \ln {\lambda }_n\end{array}\right)$

För en diagonaliserbar matris A, dvs A = TDT^-1, gäller att ln A = T ln DT^-1.

För ej diagonaliserbara matriser

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs A = TJT^-1 där J är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock J_p kan skrivas som:

$J_p=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ 0& 0& \lambda & \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \lambda \end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{ccccc}1& {\lambda }^{-1}& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& {\lambda }^{-1}& \cdots & 0\\ 0& 0& \lambda & \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& {\lambda }^{-1}\end{array}\right)=\lambda (1+N)$

Där N är en nilpotent matris med λ^-1 i diagonalen ovanför huvuddiagonalen.

Vi kan nu använda Maclaurinutvecklingen av ln(1+x):

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$

Så att:

$\ln J_p=\ln (\lambda (I+N))=\ln (I\lambda )+\ln (I+N)=(\ln \lambda )I+N-\frac{N^2}{2}+\frac{N^3}{3}-\frac{N^4}{4}+...$

Då N är nilpotent kommer N^k = 0 för något k, så att serien i slutet kommer att konvergera mot en matris.

Exempel

Matrisen:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

är ett Jordanblock. Vi får då att:

$\ln A=(\ln 1)I+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

Se även

• Logaritm
• Matrisfunktion
• Matrisexponential