ML-uppskattning

Eftersom en kurvintegral i det komplexa talplanet kan visualiseras (om real- och imaginärdelarna behandlas separat) som arean under kurvan (svart) blir en ML-uppskattning (röd) större än kurvintegralen.

En ML-uppskattning är ett sätt inom komplex analys att ta fram en övre begränsning av en kurvintegral i det komplexa talplanet. Namnet kommer av att uppskattningen som ges är maximivärdet på kurvan (M) multiplicerat med kurvans längd (L).

Uppskattningen lyder: Antag att $f$ är en komplexvärd funktion kontinuerlig på kurvan $C$ och att absolutvärdet $|f(z)|$ är begränsat på $C$. Då är

$|\underset{C}{\int }f(z)dz|\le M\cdot L$

där $M=\underset{C}{\max }|f(z)|$ och $L$ är längden av kurvan $C$.

Bevis

Satsen kan bevisas med triangelolikheten för integraler:

$|\underset{C}{\int }f(z)dz|=|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)dt|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)|dt\le M\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=M\cdot L$