Lombs periodogram

Lombs Periodogram, eller Lomb-Scargle Periodogram, är en metod för att skatta frekvensspektrum för data som inte är samplade med jämnt intervall .

Antag att data är $x_i$, tillgängliga vid tidpunkter $t_i$ för $i=1,...,N$.

Spektrumet vid $\omega$ kan då skattas genom att beräkna

$P(\omega )=\frac{{\left(\sum _{i=1}^N{x}_i\cos \left(\omega (t_i-\tau \left(\omega \right))\right)\right)}^2}{\sum _{i=1}^N{\cos }^2(\omega (t_i-\tau (\omega )))}+\frac{{\left(\sum _{i=1}^N{x}_i\sin (\omega (t_i-\tau (\omega )))\right)}^2}{\sum _{i=1}^N{\sin }^2(\omega (t_i-\tau (\omega )))}$

där $\tau$ definieras med hjälp av

$\tan (2\omega \tau )=\frac{\sum _{i=1}^N\sin (2\omega t_i)}{\sum _{i=1}^N\cos (2\omega t_i)}$.

Scargle visade att den här skattningen är statistiskt ekvivalent med ett vanligt periodogram vid jämnt samplad data .

Lomb visade i sin tur att skattningen är ekvivalent med en minsta-kvadrat skattningen vid varje frekvens , med andra ord ges samma resultat genom att först beräkna

${𝐬}_{\omega }=\left[\begin{array}{c}\sin (\omega t_1)\\ \sin (\omega t_2)\\ ⋮\\ \sin (\omega t_N)\end{array}\right]$, ${𝐜}_{\omega }=\left[\begin{array}{c}\cos (\omega t_1)\\ \cos (\omega t_2)\\ ⋮\\ \cos (\omega T_N)\end{array}\right]$, $𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_N\end{array}\right]$

samt

$A_{\omega }=\left[\begin{array}{cc}{𝐬}_{\omega }& {𝐜}_{\omega }\end{array}\right]$

och spektrumet kan sedan skattas genom att beräkna

$\left[\begin{array}{c}{S}_{\omega }\\ C_{\omega }\end{array}\right]=(A_{\omega }^T{A}_{\omega })A_{\omega }^T𝐱$,

där

$P(\omega )=S_{\omega }^2+C{\omega }^2$.