Lognormalfördelning

Täthetsfunktionen för lognormalfördelningen.

Lognormalfördelningen är en sannolikhetsfördelning som förekommer inom matematisk statistik. Den beskriver fördelningen för en stokastisk variabel vars logaritm är normalfördelad. Med andra ord, om Y är en normalfördelad stokastisk variabel, är X = exp(Y) lognormalfördelad.

Definition

En lognormalfördelad stokastisk variabel kan definieras med hjälp av täthetsfunktionen

$f(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(\ln (x)-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

där $\mu$ och $\sigma$ är parametrar i den normalfördelade stokastiska variabel som ges av logaritmen.

Egenskaper

En lognormalfördelad stokastisk variabel har väntevärde

$\mathrm{E}(X)=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$

och varians

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2\mu +{\sigma }^2}.$

Fördelningen har moment av alla ordningar, men ingen momentgenererande funktion. Det gäller också att produkter av oberoende lognormalfördelade stokastiska variabler är lognormalfördelade. Om

$X_m\sim \mathrm{Log-N}(\mu ,{\sigma }_m^2),m=1,\dots ,n$

är oberoende och lognormalfördelade variabler med samma μ-parameter, men inte nödvändigtvis samma σ, och $Y=\prod _{m=1}^n{X}_m$, så är

$Y\sim \mathrm{Log-N}(n\mu ,\sum _{m=1}^n{\sigma }_m^2)$.

Däremot är inte summan av oberoende lognormalfödelade stokastiska variabler lognormalfördelad.

Externa länkar

• Mall:Commonscat