Linniks sats

Från testwiki
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom talteori är Linniks sats ett resultat om primtal i aritmetiska följder. Satsen säger att det finns positiva konstanter c och L så att om vi betecknar med p(a,d) det minsta primtalet i den aritmetiska följden

a+nd 

där n går över alla positiva heltal och a och d är godtyckliga relativt prima positiva heltal med 1 ≤ a ≤ d - 1, är:

p(a,d)<cdL.

Satsen är uppkallad efter Jurij Linnik, som bevisade den 1944.[1][2] Även om Linniks bevis visade att c och L är effektivt beräknelig, gav han inga numeriska värden åt dem.

Egenskaper

Det är känt att L ≤ 2 för nästan alla heltal d.[3]

Under antagande av generaliserade Riemannhypothsen kan man bevisa att

p(a,d)≤(1+o(1))φ(d)2ln2d

där φ är Eulers fi-funktion.[4]

Man har även förmodat att

p(a,d)<d2. [4]

Gränser för L

Konstanten L kallas för Linniks konstant. Följande tabell visar framstegen som har gjorts i problemet att hitta övre gränser för den.

L ≤ Publikationsår Författare
10000 1957 Pan[5]
5448 1958 Pan
777 1965 Chen[6]
630 1971 Jutila
550 1970 Jutila[7]
168 1977 Chen[8]
80 1977 Jutila[9]
36 1977 Graham[10]
20 1981 Graham[11] (överlämnat före Chens publikation från 1979)
17 1979 Chen[12]
16 1986 Wang
13.5 1989 Chen and Liu[13][14]
8 1990 Wang[15]
5.5 1992 Heath-Brown[4]
5.2 2009 Xylouris[16]
5 2011 Xylouris[17]

I Heath-Browns resultat är konstanten c effektivt räknebar.

Referenser

Noter

  1. ↑ Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139-178
  2. ↑ Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347-368
  3. ↑ E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 Heath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265-338
  5. ↑ Pan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311-313
  6. ↑ Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868-1871
  7. ↑ Jutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp.
  8. ↑ Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529-562
  9. ↑ Jutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45-62
  10. ↑ Applications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977
  11. ↑ Graham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163-179
  12. ↑ Chen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859-889
  13. ↑ Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654-673
  14. ↑ Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792-807
  15. ↑ Wang On the least prime in an arithmetical progression. Acta Mathematica Sinica, New Series 1991 Vol. 7 No. 3 pp. 279-288
  16. ↑ Triantafyllos Xylouris, On Linnik's constant (2009). Mall:ArXiv
  17. ↑ Triantafyllos Xylouris, Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression (2011). Dr. rer. nat. dissertation.
Hämtad från ”https://sv.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Linniks_sats&oldid=3499”