Linjär ekvation

Två olika linjer och deras ekvationer.

Linjär ekvation, eller räta linjens ekvation, är en ekvation som beskriver en punktmängd, ofta en linje, i exempelvis ett plan eller ett rum. Ekvationen går att generalisera till en godtycklig dimension genom följande

$a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n+b=0$

där man låter $n$ vara dimensionen, exempelvis är den räta linjen fallet då $n=2$.

Linjära ekvationer i två variabler

En vanlig form att skriva en linjär ekvation på är k-formen:

$y=kx+m$

där k kallas riktningskoefficient och m kallas konstantterm. Sett som en linje i ett koordinatsystem utgör k linjens lutning och $m$ hur många enheter som linjen är förskjuten från origo.

Om $k>0$ har linjen en positiv lutning medan den har en negativ lutning om $k<0$.

Om $k=0$ är funktionen konstant och linjen är parallell med x-axeln.

Två linjer med samma riktningskoefficient är parallella. Två linjer vars riktningskoefficienter multiplicerade med varandra blir -1 är vinkelräta mot varandra.

För att kontrollera om en punkt finns på linjen kan man helt enkelt sätta in punktens koordinater som $x$ och $y$ i ekvationen och se om vi får likhet.

Andra former

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

$Ax+By+C=0$

eller på standardform:

$Ax+By=C.$

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt $(x_0,y_0)$ på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

$y-y_0=k(x-x_0)$

Linjära ekvationer i flera variabler

En linjär ekvation kan innehålla flera fria variabler och den allmänna linjära ekvationen för n variabler ser ut som:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+...+a_n{x}_n=b$

och kan även skrivas på vektorform:

${𝐚}^T𝐱=b.$

En sådan ekvation representerar ett $(n-1)$-dimensionellt hyperplan i ett n-dimensionellt rum.

Källor

• Mall:Bokref

Externa länkar

• Mall:Wiktionary
• Mall:Commonscat WD