Levinsons olikhet

Inom matematiken är Levinsons olikhet följande olikhet av Norman Levinson. Låt $a>0$ och låt $f$ vara en funktion vars tredje derivata existerar i det öppna intervallet $(0,2a)$ så att

$f^{‴}(x)\ge 0$

för alla $x\in (0,2a)$. Anta att $0<x_i\le a$ för $i=1,\dots ,n$ och $0<p$. Då är

$\frac{\sum _{i=1}^n{p}_{i}f(x_i)}{\sum _{i=1}^n{p}_i}-f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{p}_i}\right)\le \frac{\sum _{i=1}^n{p}_{i}f(2a-x_i)}{\sum _{i=1}^n{p}_i}-f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i(2a-x_i)}{\sum _{i=1}^n{p}_i}\right).$

Ky Fans olikhet är ett specialfall av Levinsons olikhet med

$p_i=1,a=\frac{1}{2}$

och

$f(x)=\log x.$

Källor

• Mall:Enwp
• Scott Lawrence och Daniel Segalman: A generalization of two inequalities involving means, Proceedings of the American Mathematical Society. Vol 35 No. 1, september 1972.
• Norman Levinson: Generalization of an inequality of Ky Fan, Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol 8 (1964), 133–134.