Lemaître–Tolman-metrik

Mall:(! class="infobox" style="clear:right; float:right; width:21.0em; border:1px solid ; text-align:center; font-size:85%;" cellspacing="0" cellpadding="2" Mall:!- ! style="border:1px solid ; border-top:3px solid ; background:; text-align:center; font-weight:normal;" | Allmänna relativitetsteorin

$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

|

---

IntroduktionMall:· HistoriaMall:· MatematikMall:· Tester

Mall:!- | Mall:(! class="collapsible collapsed" width="100%" Mall:!- ! style="background:#ccccff;" | Fundamentala begrepp Mall:!- | EkvivalensprincipenMall:· Speciella relativitetsteorinMall:· VärldslinjeMall:· Riemannsk geometri Mall:!)

Mall:!- | Mall:(! class="collapsible collapsed" width="100%" Mall:!- ! style="background:#ccccff;" | Fenomen Mall:!- | KeplerproblemetMall:· GravitationslinsMall:· GravitationsvågMall:· RamdragningMall:· Geodetisk effektMall:· HändelsehorisontMall:· SingularitetMall:· Svart hål Mall:!)

Mall:!- | Mall:(! class="collapsible collapsed" width="100%" Mall:!- ! style="background:#ccccff;" | Rumtid Mall:!- | GeodetMall:· MinkowskidiagramMall:· MinkowskirumMall:· Maskhål Mall:!)

Mall:!- | Mall:(! class="collapsible collapsed" width="100%" Mall:!- ! style="background:#ccccff;" | Ekvationer Mall:!- | Linjäriserad gravitationMall:· Einsteins fältekvationerMall:· FriedmannMall:· Mathisson–Papapetrou–DixonMall:· Hamilton–Jacobi–Einstein Mall:!)

Mall:!- | Mall:(! class="collapsible collapsed" width="100%" Mall:!- ! style="background:#ccccff;" | Formalismer Mall:!- | ADMMall:· BSSNMall:· Postnewtonsk Mall:!)

Mall:!- | Mall:(! class="collapsible collapsed" width="100%" Mall:!- ! style="background:#ccccff;" | Avancerad teori Mall:!- | Kaluza–Klein-teorinMall:· KvantgravitationMall:· Alternativa teorier Mall:!)

Mall:!- | Mall:(! class="collapsible uncollapsed" width="100%" Mall:!- ! style="background:#ccccff;" | Lösningar Mall:!- | SchwarzschildMall:· Reissner–NordströmMall:· GödelMall:· KerrMall:· Kerr–NewmanMall:· KasnerMall:· Lemaître–TolmanMall:· Taub–NUTMall:· MilneMall:· Friedmann–Lemaître–Robertson–WalkerMall:· pp-vågorMall:· van Stockum-damm Mall:!)

Mall:!- | Mall:(! class="collapsible collapsed" width="100%" Mall:!- ! style="background:#ccccff;" | Forskare Mall:!- | EinsteinMall:· LorentzMall:· HilbertMall:· PoincaréMall:· SchwarzschildMall:· de SitterMall:· ReissnerMall:· NordströmMall:· WeylMall:· EddingtonMall:· FriedmannMall:· MilneMall:· ZwickyMall:· LemaîtreMall:· GödelMall:· WheelerMall:· RobertsonMall:· BardeenMall:· WalkerMall:· KerrMall:· ChandrasekharMall:· EhlersMall:· PenroseMall:· HawkingMall:· RaychaudhuriMall:· TaylorMall:· HulseMall:· van StockumMall:· TaubMall:· NewmanMall:· YauMall:· Thorne Mall:!)

|

---

Mall:!) Lemaître–Tolman-metrik (även Lemaître–Tolman–Bondi-metrik eller Tolmanmetrik) är inom matematisk fysik en sfäriskt symmetrisk lösning till Einsteins fältekvationer som först hittades av Lemaître (1933) och sedan Tolman (1934). Den undersöktes senare av Bondi (1947). Denna lösning beskriver ett sfäriskt moln av damm (ändligt eller oändligt) som expanderar eller kollapsar under gravitation.

Metriken är:

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{t}^2-\frac{(R^{\prime }{)}^2}{1+2E}\mathrm{d}{r}^2-R^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$

där:

$\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2=\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2$

$R=R(t,r),R^{\prime }=\partial R/\partial r,E=E(r)>-\frac{1}{2}$

Lösningen använder ett koordinatsystem med origo i dammsfärens centrum, vilket innebär att dess 4-hastighet är:

$u^a={\delta }_0^a=(1,0,0,0),$

och sfäriska rumskoordinater $(r,\theta ,\varphi )$ som följer med dammpartiklarna.

Trycket är noll (därav damm), densiteten är

$8\pi \rho =\frac{2M^{\prime }}{R^2{R}^{\prime }}$

och evolutionsekvationen är

${\dot{R}}^2=\frac{2M}{R}+2E$

där

$\dot{R}=\partial R/\partial t$

Evolutionsekvationen har tre lösningar, beroende på vilket tecken $E$ har,

$E>0:R=\frac{M}{2E}(\cosh \eta -1),(\sinh \eta -\eta )=\frac{(2E{)}^{3/2}(t-t_B)}{M};$

$E=0:R={\left(\frac{9M(t-t_B{)}^2}{2}\right)}^{1/3};$

$E<0:R=\frac{M}{2E}(1-\cos \eta ),(\eta -\sin \eta )=\frac{(-2E{)}^{3/2}(t-t_B)}{M};$

vilka är kända som hyperboliska, paraboliska respektive elliptiska evolutioner.

Betydelserna av de godtyckliga funktionerna, vilka enbart beror på $r$, är:

• $E(r)$ – både en lokal geometriparameter och dammpartiklarnas energi per massenhet vid radien $r$,
• $M(r)$ – gravitationsmassan inom en sfär med radien $r$,
• $t_B(r)$ – tiden för Big Bang för världslinjer med radien $r$.

Specialfall är Schwarzschildmetrik i geodetiska koordinater med $M=$ konstant och Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrik, exempelvis Mall:Nowrap konstant.

Se även

• Lemaîtrekoordinater
• Introduktion till matematik i allmänna relativitetsteorin
• Stressenergitensor
• Metrisk tensor (allmänna relativitetsteorin)
• Relativistiskt rörelsemängdsmoment

Källor

• Mall:Tidskriftsref
• Krasinski, A., Inhomogeneous Cosmological Models, (1997) Cambridge UP, Mall:ISBN
• Lemaitre, G., Ann. Soc. Sci. Bruxelles, A53, 51 (1933).
• Mall:Tidskriftsref