Landsberg–Schaars relation

Inom talteori och harmonisk analys är Landsberg–Schaars relation följande relation för positiva heltal p och q:

$\frac{1}{\sqrt{p}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{2\pi i{n}^{2}q}{p}\right)=\frac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{2q}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp (-\frac{\pi i{n}^{2}p}{2q}).$

Även om båda membrum är ändliga summor har man inte lyckats hitta något bevis med ändliga metoder. I allmänhet bevisas den genom att låta $\tau =2iq/p+\epsilon$ med $\epsilon >0$ i följande identitet av Jacobi (som är ett specialfall av Poissons summeringsformel i klassisk harmonisk analys)

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi n^2\tau }=\frac{1}{\sqrt{\tau }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\pi n^2/\tau }$

och sedan låta $\epsilon \to 0.$

Om vi låter q = 1 blir identiteten en formel för kvadratiska Gaussumman modulo p.

Landsberg–Schaars relation kan skrivas i den mer symmetriska formen

$\frac{1}{\sqrt{p}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{\pi i{n}^{2}q}{p}\right)=\frac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{q}}\sum _{n=0}^{q-1}\exp (-\frac{\pi i{n}^{2}p}{q})$

om vi antar att pq är ett jämnt tal.

Källor

• Mall:Enwp