Kvantoperation

En kvantoperation är en specifik typ av kvantprocess som beskriver tidsutvecklingen för en bred klass av öppna kvantsystem. Tidsutvecklingen för ett öppet system från tidpunkten $t_0$ och framåt beskrivs av en kvantoperation om (1) systemet och dess omgivning vid $t=t_0$ befinner sig i ett produkttillstånd och (2) systemet och omgivningen för alla tider $t\ge t_0$ utgör ett slutet system.

Varje kvantoperation kan beskrivas av en icke-spårökande, fullständigt positiv linjär avbildning. Detta medför att varje kvantoperation kan beskrivas av Krausoperatorer.

Fysikalisk beskrivning

Mall:Se även Inom kvantmekaniken beskrivs tillståndet för ett kvantsystem av en täthetsmatris. Tidsutvecklingen för systemet bestämmer hur täthetsmatrisen $\hat{\rho }(t_0)$ vid en viss tidpunkt $t_0$ ger upphov till andra täthetsmatriser $\hat{\rho }(t)$ vid senare tidpunkter $t>t_0$.

För ett slutet system är tidsutvecklingen unitär, det vill säga normbevarande, och ges av Liouville–von Neumann-ekvationen. Givet en viss Hamiltonoperator $\hat{H}$ och tidsutvecklingsoperatorn $\hat{U}(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)/\hslash }$ ges tidsutvecklingen av $\hat{\rho }(t)=\hat{U}(t,t_0)\hat{\rho }(t_0){\hat{U}}^{†}(t,t_0)$. Hamiltonoperatorn, eller tidsutvecklingsoperatorn, definierar således tidsutvecklingen helt.

För ett öppet system är tidsutvecklingen icke-unitär och kan inte längre beskrivas med Hamiltonformalismen. Om det öppna systemet $S$ och dess omgivning $E$ tillsammans utgör ett slutet system, kan dock täthetsmatrisen ${\hat{\rho }}_{SE}(t)$ för det sammansatta systemet $S+E$ fortfarande beskrivas av en Hamiltonoperator. Det gäller således att ${\hat{\rho }}_{SE}(t)={\hat{U}}_{SE}(t,t_0){\hat{\rho }}_{SE}(t_0){\hat{U}}_{SE}^{†}(t,t_0)$, där ${\hat{U}}_{SE}(t,t_0)$ betecknar tidsutvecklingsoperatorn för det sammansatta systemet. Täthetsmatrisen ${\hat{\rho }}_S$ för systemet $S$ erhålls genom det partiella spåret av ${\hat{\rho }}_{SE}$. Alltså gäller

${\hat{\rho }}_S(t)={\text{tr}}_E[{\hat{\rho }}_{SE}(t)]={\text{tr}}_E[{\hat{U}}_{SE}(t,t_0){\hat{\rho }}_{SE}(t_0){\hat{U}}_{SE}^{†}(t,t_0)]$.

Om det sammansatta systemet antas vara i ett produkttillstånd, ${\hat{\rho }}_{SE}(t_0)={\hat{\rho }}_S(t_0)\otimes {\hat{\rho }}_E(t_0)$, vid $t=t_0$ fås slutligen sambandet

${\hat{\rho }}_S(t)={\text{tr}}_E[{\hat{U}}_{SE}(t,t_0){\hat{\rho }}_S(t_0)\otimes {\hat{\rho }}_E(t_0){\hat{U}}_{SE}^{†}(t,t_0)]$.

Det framgår av detta samband att täthetsmatrisen vid en tidpunkt $t>t_0$ är linjärt beroende av täthetsmatrisen vid tidpunkten $t=t_0$. Vidare är denna linjära avbildning både icke-spårökande och fullständigt positiv.

Krausoperatorer

Mall:Huvudartikel De tre ovannämnda egenskaperna hos en kvantoperation (linjär, icke-spårökande och fullständigt positiv) medför att varje kvantoperation kan beskrivas av så kallade Krausoperatorer ${\hat{E}}_i$. Givet två Hilbertrum med dimensionerna $m$ och $n$ och Krausoperatorer $\{{\hat{E}}_i{\}}_{1\le i\le mn}$ med $\sum _i{\hat{E}}_i^{†}{\hat{E}}_i\le 1$, kan kvantoperationen uttryckas som

$\hat{\rho }(t)=\sum _i{\hat{E}}_i\hat{\rho }(t_0){\hat{E}}_i^{†}$

Inverterbara och delbara kvantoperationer

Givet en en-parameterfamilj av kvantoperationer ${\mathrm{\Phi }}_t$, som beskriver tidsutvecklingen för ett system till olika tider $t>t_0$, kan olika egenskaper för det öppna systemet härledas utifrån egenskaperna hos ${\mathrm{\Phi }}_t$.

Om kvantoperationen är deriverbar och inversen ${\mathrm{\Phi }}_t^{-1}$ existerar kan kvantoperationen även beskrivas med en tidslokal kvantmasterekvation. Det går då att definiera kvantiteten ${\mathrm{\Phi }}_{t,s}\equiv {\mathrm{\Phi }}_t{\mathrm{\Phi }}_s^{-1}$, som kan ses som en kvantprocess som tar systemet från tidpunkten $s$ till tidpunkten $t$. Särskilt gäller att ${\mathrm{\Phi }}_t={\mathrm{\Phi }}_{t,0}$ och ${\mathrm{\Phi }}_s={\mathrm{\Phi }}_{s,0}$.

En viktig egenskap hos kvantprocessen ${\mathrm{\Phi }}_{t,s}$ är att den inte nödvändigtvis är en kvantoperation eftersom ${\mathrm{\Phi }}_s^{-1}$ inte nödvändigtvis är en fullständigt positiv avbildning eller ens en positiv avbildning.

Om ${\mathrm{\Phi }}_{t,s}$ är en positiv avbildning kallas de ursprungliga kvantoperationerna ${\mathrm{\Phi }}_t$ för P-delbara. Om ${\mathrm{\Phi }}_{t,s}$ är en fullständigt positiv avbildning kallas ${\mathrm{\Phi }}_t$ för CP-delbara.

Se även

• Täthetsmatris

Referenser

• Non-Markovian dynamics in open quantum systems