Kolonnvektorer och radvektorer

En kolonnvektor (kolumnvektor) eller kolonnmatris är inom linjär algebra en m × 1 matris, det vill säga, en matris bestående av en enda kolonn eller vertikalt orienterad följd av m element:

$𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]$

En radvektor eller radmatris är en 1 × m matris, det vill säga, en matris bestående av en enda rad av element:

$𝐱=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_m\end{array}\right]$

Transponatet (indikerat med T) av en radvektor är en kolonnvektor:

${\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right],$

och transponatet av en kolonnvektor är en radvektor:

${\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]$

Notation

För att göra det möjligt att skriva en kolonnvektor på en rad, kan den skrivas som det transponerade värdet av motsvarande radvektor:

$𝐱={\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$

eller

$𝐱={\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$

	Radvektor	Kolonnvektor
Standard matrisnotation (radlista, inga komman, transponeringstecken)	$\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]\text{ eller }{\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]}^T$
Alternativ notation 1 (komman, transponeringstecken)	$\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]$	${\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$
Alternativ notation 2 (komman, semikolon, inga transponeringstecken)	$\left[\begin{array}{c}{x}_1,x_2,\dots ,x_m\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}{x}_1;x_2;\dots ;x_m\end{array}\right]$

Operationer

Matrismultiplikation innefattar multiplikation av en radvektor tillhörande en matris och en kolonnvektor tillhörande en annan matris.

Skalärprodukten av två vektorer a and b är ekvivalent med matrisprodukten av a och b tolkade som en 1 × m matris respektive en m × 1 matris.

$𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^{\mathrm{T}}𝐛=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3,$

vilket också är ekvivalent med matrisprodukten av radvektorn b och kolonnvektorn a,

$𝐛\cdot 𝐚={𝐛}^{\mathrm{T}}𝐚=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]$

Matrisprodukten av en kolonnvektor a och en radvektor b (dyadisk produkt) är ett exempel på den mera generella tensorprodukten. Matrisprodukten av kolonnvektorrepresentationen av a och radvektorrepresentationen b ger komponenterna av deras dyadiska produkt som

$𝐚\otimes 𝐛=𝐚{𝐛}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3\end{array}\right],$

vilket inte är ekvivalent med matrisprodukten av kolonnvektorrepresentationen av b och radvektorrepresentationen av a:

$𝐛\otimes 𝐚=𝐛{𝐚}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1{a}_1& b_1{a}_2& b_1{a}_3\\ b_2{a}_1& b_2{a}_2& b_2{a}_3\\ b_3{a}_1& b_3{a}_2& b_3{a}_3\end{array}\right].$

I detta fall är de två vektorerna olika; de är varandras transponat.

Se även

• Kovarians och kontravarians (vektorer)

Referenser

Mall:Linjär-algebra